Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) & \sin (x) \\ e^{x} & - \sin (x) & \cos (x) \\ e^{x} & - \cos (x) & - \sin (x) \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} | - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$e^{x} (- \sin (x) (- \sin (x)) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} (1 \sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{x} (\sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.1.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x} ({\sin (x)}^{1 + 1} - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - {\cos (x)}^{1 + 1}) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere $- - \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) + 1 \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} (- \cos (x)) - e^{x} (- \sin (x)))$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) - e^{x} (- \sin (x)))$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $- e^{x} (- \sin (x))$ .

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + 1 e^{x} \sin (x))$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $- \cos (x) (- e^{x} \sin (x))$ .

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} + 1 \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.4

Multipliziere $- \cos (x) (- e^{x} \cos (x))$ .

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + 1 \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.4.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

Schritt 5.1.7

Multipliziere $\sin (x) (e^{x} \sin (x))$ .

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Schritt 5.1.7.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) e^{x}$

Schritt 5.1.7.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) e^{x}$

Schritt 5.1.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} e^{x}$

Schritt 5.1.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$ .

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Schritt 5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) e^{x} \sin (x)$ und $- \sin (x) e^{x} \cos (x)$ neu an.

$e^{x} + e^{x} \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - e^{x} \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $e^{x} \cos (x) \sin (x)$ von $e^{x} \cos (x) \sin (x)$ .

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + 0 + \sin^{2} (x) e^{x}$

Schritt 5.2.3

Addiere $e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x}$ und $0$ .

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{x} \cdot 1 + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $\cos^{2} (x) e^{x}$ heraus.

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $\sin^{2} (x) e^{x}$ heraus.

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + e^{x} \sin^{2} (x)$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x)$ heraus.

$e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$ heraus.

$e^{x} (1 + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

Schritt 5.4

Ordne Terme um.

$e^{x} (1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 5.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$e^{x} (1 + 1)$

Schritt 5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{x} \cdot 2$

Schritt 5.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$2 e^{x}$