Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} a^{2} & a & 1 \\ b^{2} & b & 1 \\ c^{2} & c & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a^{2} | \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$a^{2} | \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} | - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a^{2} (b \cdot 1 - c \cdot 1) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$a^{2} (b - c \cdot 1) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a \cdot 1 - c \cdot 1) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c \cdot 1) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a \cdot 1 - b \cdot 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b \cdot 1)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} b + a^{2} (- c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Schritt 5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a - b^{2} (- c) + c^{2} (a - b)$

Schritt 5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a - 1 \cdot - 1 b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + 1 b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a + c^{2} (- b)$

Schritt 5.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a - c^{2} b$