Lineare Algebra Beispiele

det

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

$0$ Elementen. Wenn keine

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$8$ .

$3 (32 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$5$ .

$3 (32 - 35) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

$35$ von

$32$ .

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot - 3 - 2 (3 \cdot 8 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$8$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere

$15$ von

$24$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (3 \cdot 7 - 3 \cdot 4)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$7$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 3 \cdot 4)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$4$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

$12$ von

$21$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 3$ .

$- 9 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$9$ .

$- 9 - 18 + 1 \cdot 9$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere

$9$ mit

$1$ .

$- 9 - 18 + 9$

Schritt 5.2

Subtrahiere

$18$ von

$- 9$ .

$- 27 + 9$

Schritt 5.3

Addiere

$- 27$ und

$9$ .

$- 18$