Lineare Algebra Beispiele

$x + 5 z = 0$ , $y + 2 z = 0$ , $w = 0$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$w = 0$

$x + 5 z = 0$

$y + 2 z = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $5 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5 z$

$w = 0$

$y + 2 z = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 z$

$w = 0$

$x = - 5 z$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(0, - 5 z, - 2 z, z)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 z \\ - 2 z \\ z \end{array}]$