Lineare Algebra Beispiele

$a + 0 + 2 d - g = 1$ , $0 + 2 b + 6 d + 2 g = - 2$ , $2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2$ , $a + b + 5 d + 0 = 0$

Schritt 1

Addiere $a$ und $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 0 + 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Schritt 2

Addiere $0$ und $2 b$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Schritt 3

Addiere $2 a$ und $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Schritt 4

Addiere $a + b + 5 d$ und $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d = 0$

Schritt 5

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 2 & 0 & 4 & - 2 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 6

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 6.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 6.1.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 4 - 2 \cdot 2 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 2 - 2 \cdot 1 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 6.1.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 6.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Schritt 6.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 5 - 2 & 0 + 1 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 6.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 6.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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Schritt 6.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 3 - 3 & 1 - 1 & - 1 + 1 \end{array}]$

Schritt 6.4.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 7

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a + 2 d - g = 1$

$b + 3 d + g = - 1$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 d$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a - g = 1 - 2 d$

$b + 3 d + g = - 1$

Schritt 8.2

Addiere $g$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 1 - 2 d + g$

$b + 3 d + g = - 1$

$a = 1 - 2 d + g$

$b + 3 d + g = - 1$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $3 d$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b + g = - 1 - 3 d$

$a = 1 - 2 d + g$

Schritt 9.2

Subtrahiere $g$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - 1 - 3 d - g$

$a = 1 - 2 d + g$

$b = - 1 - 3 d - g$

$a = 1 - 2 d + g$

Schritt 10

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(1 - 2 d + g, - 1 - 3 d - g, d, g)$

Schritt 11

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \\ g \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - 2 d + g \\ - 1 - 3 d - g \\ d \\ g \end{array}]$