Lineare Algebra Beispiele

$5 x + 2 y = 8$ , $9 x - 4 y = 2 - 22$

Schritt 1

Subtrahiere $22$ von $2$ .

$5 x + 2 y = 8, 9 x - 4 y = - 20$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 8 \\ 9 & - 4 & - 20 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 9 & - 4 & - 20 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 9 & - 4 & - 20 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 9 - 9 \cdot 1 & - 4 - 9 (\frac{2}{5}) & - 20 - 9 (\frac{8}{5}) \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 0 & - \frac{38}{5} & - \frac{172}{5} \end{array}]$

Schritt 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{38}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{38}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ - \frac{5}{38} \cdot 0 & - \frac{5}{38} (- \frac{38}{5}) & - \frac{5}{38} (- \frac{172}{5}) \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{8}{5} \\ 0 & 1 & \frac{86}{19} \end{array}]$

Schritt 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{8}{5} - \frac{2}{5} \cdot \frac{86}{19} \\ 0 & 1 & \frac{86}{19} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{19} \\ 0 & 1 & \frac{86}{19} \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = - \frac{4}{19}$

$y = \frac{86}{19}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- \frac{4}{19}, \frac{86}{19})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{4}{19} \\ \frac{86}{19} \end{array}]$