Lineare Algebra Beispiele

$3 x + 4 y = 97$ , $2 x + 3 y = 69$

Schritt 1

Löse in $3 x + 4 y = 97$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 97 - 4 y$

$2 x + 3 y = 69$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 97 - 4 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 97 - 4 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{97}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{97}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{97}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$2 x + 3 y = 69$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x + 3 y = 69$ durch $\frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$2 (\frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{97}{3}) + 2 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $2 (\frac{97}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{97}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 97}{3} + 2 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $97$ .

$\frac{194}{3} + 2 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{194}{3} + 2 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{4 y}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{194}{3} - 2 \frac{4 y}{3} + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{194}{3} + \frac{- 2 (4 y)}{3} + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{194}{3} + \frac{- 8 y}{3} + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{194}{3} + \frac{- 8 y}{3} + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{194}{3} - \frac{8 y}{3} + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{194}{3} - \frac{8 y}{3} + 3 y = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{194}{3} - \frac{8 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $3 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{194}{3} - \frac{8 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{194}{3} + \frac{- 8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{194 - 8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{194 - 8 y + 9 y}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $- 8 y$ und $9 y$ .

$\frac{194 + y}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{194 + y}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{194 + y}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{194 + y}{3} = 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $\frac{194 + y}{3} = 69$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{194 + y}{3}) = 3 \cdot 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{194 + y}{3}) = 3 \cdot 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$194 + y = 3 \cdot 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$194 + y = 3 \cdot 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$194 + y = 3 \cdot 69$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $69$ .

$194 + y = 207$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$194 + y = 207$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$194 + y = 207$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $194$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 207 - 194$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $194$ von $207$ .

$y = 13$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = 13$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = 13$

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $13$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{97}{3} - \frac{4 y}{3}$ durch $13$ .

$x = \frac{97}{3} - \frac{4 (13)}{3}$

$y = 13$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{97}{3} - \frac{4 (13)}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{97 - 4 \cdot 13}{3}$

$y = 13$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{97 - 52}{3}$

$y = 13$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $52$ von $97$ .

$x = \frac{45}{3}$

$y = 13$

Schritt 4.2.1.2.3

Dividiere $45$ durch $3$ .

$x = 15$

$y = 13$

$x = 15$

$y = 13$

$x = 15$

$y = 13$

$x = 15$

$y = 13$

$x = 15$

$y = 13$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(15, 13)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(15, 13)$

Gleichungsform:

$x = 15, y = 13$

Schritt 7