Lineare Algebra Beispiele

$- 2 x - y = - 14$ , $3 x - y = 11$

Schritt 1

Löse in $- 2 x - y = - 14$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 14 + y$

$3 x - y = 11$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 14 + y$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 14 + y$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 14}{- 2} + \frac{y}{- 2}$

$3 x - y = 11$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 14}{- 2} + \frac{y}{- 2}$

$3 x - y = 11$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 14}{- 2} + \frac{y}{- 2}$

$3 x - y = 11$

$x = \frac{- 14}{- 2} + \frac{y}{- 2}$

$3 x - y = 11$

$x = \frac{- 14}{- 2} + \frac{y}{- 2}$

$3 x - y = 11$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $- 14$ durch $- 2$ .

$x = 7 + \frac{y}{- 2}$

$3 x - y = 11$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$3 x - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$3 x - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$3 x - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$3 x - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$3 x - y = 11$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $7 - \frac{y}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - y = 11$ durch $7 - \frac{y}{2}$ .

$3 (7 - \frac{y}{2}) - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (7 - \frac{y}{2}) - y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 7 + 3 (- \frac{y}{2}) - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$21 + 3 (- \frac{y}{2}) - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{y}{2})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$21 - 3 \frac{y}{2} - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{y}{2}$ .

$21 + \frac{- 3 y}{2} - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 + \frac{- 3 y}{2} - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$21 - \frac{3 y}{2} - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 - \frac{3 y}{2} - y = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$21 - \frac{3 y}{2} - y \cdot \frac{2}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $- y$ und $\frac{2}{2}$ .

$21 - \frac{3 y}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$21 + \frac{- 3 y - y \cdot 2}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 + \frac{- 3 y - y \cdot 2}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y - y \cdot 2$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y$ heraus.

$21 + \frac{y \cdot - 3 - y \cdot 2}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \cdot 2$ heraus.

$21 + \frac{y \cdot - 3 + y (- 1 \cdot 2)}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 3 + y (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$21 + \frac{y (- 3 - 1 \cdot 2)}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 + \frac{y (- 3 - 1 \cdot 2)}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$21 + \frac{y (- 3 - 2)}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$21 + \frac{y \cdot - 5}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 + \frac{y \cdot - 5}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $y$ .

$21 + \frac{- 5 \cdot y}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$21 - \frac{5 y}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 - \frac{5 y}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 - \frac{5 y}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 - \frac{5 y}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$21 - \frac{5 y}{2} = 11$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3

Löse in $21 - \frac{5 y}{2} = 11$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 y}{2} = 11 - 21$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $21$ von $11$ .

$- \frac{5 y}{2} = - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$- \frac{5 y}{2} = - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2})$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{5} \cdot (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} \cdot (- 5 y) = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$\frac{- 1}{5} \cdot (- 5 y) = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- y)) = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- y)) = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = - \frac{2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{5} \cdot - 10$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 2}{5} \cdot - 10$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$y = \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 2))$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 2)$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 2 \cdot - 2$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 2$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = 4$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = 4$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = 4$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = 4$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

$y = 4$

$x = 7 - \frac{y}{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 7 - \frac{y}{2}$ durch $4$ .

$x = 7 - \frac{4}{2}$

$y = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $7 - \frac{4}{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$x = 7 - 1 \cdot 2$

$y = 4$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 7 - 2$

$y = 4$

$x = 7 - 2$

$y = 4$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$x = 5$

$y = 4$

$x = 5$

$y = 4$

$x = 5$

$y = 4$

$x = 5$

$y = 4$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(5, 4)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(5, 4)$

Gleichungsform:

$x = 5, y = 4$

Schritt 7