Lineare Algebra Beispiele

$2 x + 7 y = - 16$ , $- 7 x - 8 y = 23$

Schritt 1

Löse in $2 x + 7 y = - 16$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 16 - 7 y$

$- 7 x - 8 y = 23$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 16 - 7 y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 16 - 7 y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 16}{2} + \frac{- 7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 16}{2} + \frac{- 7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 16}{2} + \frac{- 7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

$x = \frac{- 16}{2} + \frac{- 7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

$x = \frac{- 16}{2} + \frac{- 7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $- 16$ durch $2$ .

$x = - 8 + \frac{- 7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$- 7 x - 8 y = 23$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 8 - \frac{7 y}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $- 7 x - 8 y = 23$ durch $- 8 - \frac{7 y}{2}$ .

$- 7 (- 8 - \frac{7 y}{2}) - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $- 7 (- 8 - \frac{7 y}{2}) - 8 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 7 \cdot - 8 - 7 (- \frac{7 y}{2}) - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 8$ .

$56 - 7 (- \frac{7 y}{2}) - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $- 7 (- \frac{7 y}{2})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$56 + 7 (\frac{7 y}{2}) - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{7 y}{2}$ .

$56 + \frac{7 (7 y)}{2} - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$56 + \frac{49 y}{2} - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{49 y}{2} - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{49 y}{2} - 8 y = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 8 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$56 + \frac{49 y}{2} - 8 y \cdot \frac{2}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $- 8 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$56 + \frac{49 y}{2} + \frac{- 8 y \cdot 2}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$56 + \frac{49 y - 8 y \cdot 2}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{49 y - 8 y \cdot 2}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $49 y - 8 y \cdot 2$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $49 y$ heraus.

$56 + \frac{y \cdot 49 - 8 y \cdot 2}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 8 y \cdot 2$ heraus.

$56 + \frac{y \cdot 49 + y (- 8 \cdot 2)}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 49 + y (- 8 \cdot 2)$ heraus.

$56 + \frac{y (49 - 8 \cdot 2)}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{y (49 - 8 \cdot 2)}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$56 + \frac{y (49 - 16)}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $49$ .

$56 + \frac{y \cdot 33}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{y \cdot 33}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 2.2.1.4.2

Bringe $33$ auf die linke Seite von $y$ .

$56 + \frac{33 y}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{33 y}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{33 y}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{33 y}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$56 + \frac{33 y}{2} = 23$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3

Löse in $56 + \frac{33 y}{2} = 23$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $56$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{33 y}{2} = 23 - 56$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $56$ von $23$ .

$\frac{33 y}{2} = - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$\frac{33 y}{2} = - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{33}$ .

$\frac{2}{33} \cdot \frac{33 y}{2} = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{2}{33} \cdot \frac{33 y}{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{33} \cdot \frac{33 y}{2} = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{33} \cdot (33 y) = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$\frac{1}{33} \cdot (33 y) = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $33$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $33$ aus $33 y$ heraus.

$\frac{1}{33} \cdot (33 (y)) = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{33} \cdot (33 y) = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$y = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$y = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$y = \frac{2}{33} \cdot - 33$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\frac{2}{33} \cdot - 33$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $33$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $33$ aus $- 33$ heraus.

$y = \frac{2}{33} \cdot (33 (- 1))$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{33} \cdot (33 \cdot - 1)$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \cdot - 1$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$y = 2 \cdot - 1$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$y = - 2$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$y = - 2$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$y = - 2$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

$y = - 2$

$x = - 8 - \frac{7 y}{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 8 - \frac{7 y}{2}$ durch $- 2$ .

$x = - 8 - \frac{7 (- 2)}{2}$

$y = - 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 8 - \frac{7 (- 2)}{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $7 (- 2)$ heraus.

$x = - 8 - \frac{2 (7 \cdot (- 1))}{2}$

$y = - 2$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = - 8 - \frac{2 (7 \cdot (- 1))}{2 (1)}$

$y = - 2$

Schritt 4.2.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 8 - \frac{2 (7 \cdot (- 1))}{2 \cdot 1}$

$y = - 2$

Schritt 4.2.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 8 - \frac{7 \cdot (- 1)}{1}$

$y = - 2$

Schritt 4.2.1.1.1.2.4

Dividiere $7 \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$x = - 8 - (7 \cdot (- 1))$

$y = - 2$

$x = - 8 - (7 \cdot (- 1))$

$y = - 2$

$x = - 8 - (7 \cdot (- 1))$

$y = - 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Multipliziere $- (7 \cdot (- 1))$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$x = - 8 + 7$

$y = - 2$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$x = - 8 + 7$

$y = - 2$

$x = - 8 + 7$

$y = - 2$

$x = - 8 + 7$

$y = - 2$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 8$ und $7$ .

$x = - 1$

$y = - 2$

$x = - 1$

$y = - 2$

$x = - 1$

$y = - 2$

$x = - 1$

$y = - 2$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, - 2)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 1, - 2)$

Gleichungsform:

$x = - 1, y = - 2$

Schritt 7