Lineare Algebra Beispiele

$3 x - 5 y = 51$ , $2 x + 3 y = - 4$

Schritt 1

Löse in $3 x - 5 y = 51$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 51 + 5 y$

$2 x + 3 y = - 4$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 51 + 5 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 51 + 5 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{51}{3} + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{51}{3} + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{51}{3} + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{51}{3} + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = \frac{51}{3} + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Dividiere $51$ durch $3$ .

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$2 x + 3 y = - 4$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $17 + \frac{5 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x + 3 y = - 4$ durch $17 + \frac{5 y}{3}$ .

$2 (17 + \frac{5 y}{3}) + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (17 + \frac{5 y}{3}) + 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 17 + 2 (\frac{5 y}{3}) + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$34 + 2 (\frac{5 y}{3}) + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $2 \frac{5 y}{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{5 y}{3}$ .

$34 + \frac{2 (5 y)}{3} + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$34 + \frac{10 y}{3} + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{10 y}{3} + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{10 y}{3} + 3 y = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$34 + \frac{10 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $3 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$34 + \frac{10 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$34 + \frac{10 y + 3 y \cdot 3}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{10 y + 3 y \cdot 3}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $10 y + 3 y \cdot 3$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $10 y$ heraus.

$34 + \frac{y \cdot 10 + 3 y \cdot 3}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y \cdot 3$ heraus.

$34 + \frac{y \cdot 10 + y (3 \cdot 3)}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 10 + y (3 \cdot 3)$ heraus.

$34 + \frac{y (10 + 3 \cdot 3)}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{y (10 + 3 \cdot 3)}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$34 + \frac{y (10 + 9)}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Addiere $10$ und $9$ .

$34 + \frac{y \cdot 19}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{y \cdot 19}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4.2

Bringe $19$ auf die linke Seite von $y$ .

$34 + \frac{19 y}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{19 y}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{19 y}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{19 y}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$34 + \frac{19 y}{3} = - 4$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $34 + \frac{19 y}{3} = - 4$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $34$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{19 y}{3} = - 4 - 34$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $34$ von $- 4$ .

$\frac{19 y}{3} = - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$\frac{19 y}{3} = - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{19}$ .

$\frac{3}{19} \cdot \frac{19 y}{3} = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{19} \cdot \frac{19 y}{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{19} \cdot \frac{19 y}{3} = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{19} \cdot (19 y) = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$\frac{1}{19} \cdot (19 y) = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $19$ aus $19 y$ heraus.

$\frac{1}{19} \cdot (19 (y)) = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{19} \cdot (19 y) = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$y = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$y = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$y = \frac{3}{19} \cdot - 38$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\frac{3}{19} \cdot - 38$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $19$ aus $- 38$ heraus.

$y = \frac{3}{19} \cdot (19 (- 2))$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3}{19} \cdot (19 \cdot - 2)$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 \cdot - 2$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$y = 3 \cdot - 2$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$y = - 6$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$y = - 6$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$y = - 6$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$y = - 6$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

$y = - 6$

$x = 17 + \frac{5 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 17 + \frac{5 y}{3}$ durch $- 6$ .

$x = 17 + \frac{5 (- 6)}{3}$

$y = - 6$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $17 + \frac{5 (- 6)}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$x = 17 + \frac{- 30}{3}$

$y = - 6$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- 30$ durch $3$ .

$x = 17 - 10$

$y = - 6$

Schritt 4.2.1.3

Subtrahiere $10$ von $17$ .

$x = 7$

$y = - 6$

$x = 7$

$y = - 6$

$x = 7$

$y = - 6$

$x = 7$

$y = - 6$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(7, - 6)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(7, - 6)$

Gleichungsform:

$x = 7, y = - 6$

Schritt 7