Lineare Algebra Beispiele

$3 x - 2 y = 14$ , $5 x + 4 y = 5$

Schritt 1

Löse in $3 x - 2 y = 14$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 14 + 2 y$

$5 x + 4 y = 5$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 14 + 2 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 14 + 2 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 4 y = 5$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 4 y = 5$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 4 y = 5$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $5 x + 4 y = 5$ durch $\frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$ .

$5 (\frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}) + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $5 (\frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}) + 4 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (\frac{14}{3}) + 5 (\frac{2 y}{3}) + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $5 (\frac{14}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{14}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 14}{3} + 5 (\frac{2 y}{3}) + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$\frac{70}{3} + 5 (\frac{2 y}{3}) + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{70}{3} + 5 (\frac{2 y}{3}) + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $5 \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{70}{3} + \frac{5 (2 y)}{3} + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{70}{3} + \frac{10 y}{3} + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{70}{3} + \frac{10 y}{3} + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{70}{3} + \frac{10 y}{3} + 4 y = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $4 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{70}{3} + \frac{10 y}{3} + 4 y \cdot \frac{3}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $4 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{70}{3} + \frac{10 y}{3} + \frac{4 y \cdot 3}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{70}{3} + \frac{10 y + 4 y \cdot 3}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{70 + 10 y + 4 y \cdot 3}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{70 + 10 y + 12 y}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $10 y$ und $12 y$ .

$\frac{70 + 22 y}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8

Faktorisiere $2$ aus $70 + 22 y$ heraus.

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Schritt 2.2.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $70$ heraus.

$\frac{2 (35) + 22 y}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $22 y$ heraus.

$\frac{2 (35) + 2 (11 y)}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (35) + 2 (11 y)$ heraus.

$\frac{2 (35 + 11 y)}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 (35 + 11 y)}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 (35 + 11 y)}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 (35 + 11 y)}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 (35 + 11 y)}{3} = 5$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $\frac{2 (35 + 11 y)}{3} = 5$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{2 (35 + 11 y)}{3} \cdot 3 = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{2 (35 + 11 y)}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (35 + 11 y)}{3} \cdot 3 = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (35 + 11 y) = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$2 (35 + 11 y) = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 35 + 2 (11 y) = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $35$ .

$70 + 2 (11 y) = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $11$ mit $2$ .

$70 + 22 y = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3.3

Stelle $70$ und $22 y$ um.

$22 y + 70 = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$22 y + 70 = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$22 y + 70 = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$22 y + 70 = 5 \cdot 3$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$22 y + 70 = 15$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$22 y + 70 = 15$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$22 y + 70 = 15$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $70$ von beiden Seiten der Gleichung.

$22 y = 15 - 70$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $70$ von $15$ .

$22 y = - 55$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$22 y = - 55$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $22 y = - 55$ durch $22$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $22 y = - 55$ durch $22$ .

$\frac{22 y}{22} = \frac{- 55}{22}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $22$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{22 y}{22} = \frac{- 55}{22}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 55}{22}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 55}{22}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 55}{22}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 55$ und $22$ .

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Schritt 3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $11$ aus $- 55$ heraus.

$y = \frac{11 (- 5)}{22}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $11$ aus $22$ heraus.

$y = \frac{11 \cdot - 5}{11 \cdot 2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{11 \cdot - 5}{11 \cdot 2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{5}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{14}{3} + \frac{2 y}{3}$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$x = \frac{14}{3} + \frac{2 (- \frac{5}{2})}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{14}{3} + \frac{2 (- \frac{5}{2})}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{14 + 2 (- \frac{5}{2})}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{14 + 2 (\frac{- 5}{2})}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{14 + 2 (\frac{- 5}{2})}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{14 - 5}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{14 - 5}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.3.1

Subtrahiere $5$ von $14$ .

$x = \frac{9}{3}$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Dividiere $9$ durch $3$ .

$x = 3$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 3$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 3$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 3$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 3$

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, - \frac{5}{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, - \frac{5}{2})$

Gleichungsform:

$x = 3, y = - \frac{5}{2}$

Schritt 7