Lineare Algebra Beispiele

$3 x + 6 y = 9$ , $5 x + 10 y = 15$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 3 & 6 & 9 \\ 5 & 10 & 15 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{6}{3} & \frac{9}{3} \\ 5 & 10 & 15 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 10 - 5 \cdot 2 & 15 - 5 \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + 2 y = 3$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 3 - x$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 3 - x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 3 - x$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- x}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- x}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- x}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3}{2} - \frac{x}{2}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, \frac{3}{2} - \frac{x}{2})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{3}{2} - \frac{x}{2} \end{array}]$