Lineare Algebra Beispiele

$3 a + 4 b + 5 z = 0$ , $6 a - 10 b + 5 z = 0$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 3 & 4 & 5 & 0 \\ 6 & - 10 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} \\ 6 & - 10 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & 0 \\ 6 & - 10 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 10 - 6 (\frac{4}{3}) & 5 - 6 (\frac{5}{3}) & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - 18 & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{18}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{18}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & 0 \\ - \frac{1}{18} \cdot 0 & - \frac{1}{18} \cdot - 18 & - \frac{1}{18} \cdot - 5 & - \frac{1}{18} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{18} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{18} & 0 - \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{18} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{35}{27} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{18} & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a + \frac{35 z}{27} = 0$

$b + \frac{5 z}{18} = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $\frac{35 z}{27}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - \frac{35 z}{27}$

$b + \frac{5 z}{18} = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $\frac{5 z}{18}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - \frac{5 z}{18}$

$a = - \frac{35 z}{27}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- \frac{35 z}{27}, - \frac{5 z}{18}, z)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{35 z}{27} \\ - \frac{5 z}{18} \\ z \end{array}]$