Lineare Algebra Beispiele

$2 x - y + z = 3$ , $2 y - z = 1$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 2 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 2 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) & \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{7}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{z}{4} = \frac{7}{4}$

$y - \frac{z}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Subtrahiere $\frac{z}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{7}{4} - \frac{z}{4}$

$y - \frac{z}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Addiere $\frac{z}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{1}{2} + \frac{z}{2}$

$x = \frac{7}{4} - \frac{z}{4}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{7}{4} - \frac{z}{4}, \frac{1}{2} + \frac{z}{2}, z)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{7}{4} - \frac{z}{4} \\ \frac{1}{2} + \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$