Lineare Algebra Beispiele

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.#

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Schritt 2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Schritt 2.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 \cdot 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Schritt 2.6

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.7

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.7.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 2.8

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.8.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 2.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Schritt 5

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} \end{array}]$