Lineare Algebra Beispiele

$\frac{1}{5} a + \frac{1}{2} Y = \frac{15}{5}$ , $\frac{1}{5} a + 3 y = \frac{88}{5}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $a$ .

$\frac{a}{5} + \frac{1}{2} Y = \frac{15}{5}, \frac{1}{5} a + 3 y = \frac{88}{5}$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $Y$ .

$\frac{a}{5} + \frac{Y}{2} = \frac{15}{5}, \frac{1}{5} a + 3 y = \frac{88}{5}$

Schritt 1.2

Dividiere $15$ durch $5$ .

$\frac{a}{5} + \frac{Y}{2} = 3, \frac{1}{5} a + 3 y = \frac{88}{5}$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $a$ .

$\frac{a}{5} + \frac{Y}{2} = 3, \frac{a}{5} + 3 y = \frac{88}{5}$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{2} & 3 \\ \frac{1}{5} & 3 & 0 & \frac{88}{5} \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 (\frac{1}{5}) & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{2}) & 5 \cdot 3 \\ \frac{1}{5} & 3 & 0 & \frac{88}{5} \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{2} & 15 \\ \frac{1}{5} & 3 & 0 & \frac{88}{5} \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{2} & 15 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 3 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{88}{5} - \frac{1}{5} \cdot 15 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{2} & 15 \\ 0 & 3 & - \frac{1}{2} & \frac{73}{5} \end{array}]$

Schritt 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{2} & 15 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- \frac{1}{2}}{3} & \frac{\frac{73}{5}}{3} \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{2} & 15 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{6} & \frac{73}{15} \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a + \frac{5 Y}{2} = 15$

$y - \frac{Y}{6} = \frac{73}{15}$

Schritt 6

Subtrahiere $\frac{5 Y}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = 15 - \frac{5 Y}{2}$

$y - \frac{Y}{6} = \frac{73}{15}$

Schritt 7

Addiere $\frac{Y}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{73}{15} + \frac{Y}{6}$

$a = 15 - \frac{5 Y}{2}$

Schritt 8

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(15 - \frac{5 Y}{2}, \frac{73}{15} + \frac{Y}{6}, Y)$

Schritt 9

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ y \\ Y \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 - \frac{5 Y}{2} \\ \frac{73}{15} + \frac{Y}{6} \\ Y \end{array}]$