Lineare Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{3} x - 2$ , $3 y = x - 6$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{3} - 2, 3 y = x - 6$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{x}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - \frac{x}{3} = - 2, 3 y = x - 6$

Schritt 3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - \frac{x}{3} = - 2, 3 y - x = - 6$

Schritt 4

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & 1 & - 2 \\ - 1 & 3 & - 6 \end{array}]$

Schritt 5

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 3$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 3$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 (- \frac{1}{3}) & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot - 2 \\ - 1 & 3 & - 6 \end{array}]$

Schritt 5.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 6 \\ - 1 & 3 & - 6 \end{array}]$

Schritt 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 6 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 3 - 3 & - 6 + 1 \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 6

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x - 3 y = 6$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = 6 - x$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 6 - x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = 6 - x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{6}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{6}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.1.1

Dividiere $6$ durch $- 3$ .

$y = - 2 + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 7.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 2 + \frac{x}{3}$

Schritt 8

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, - 2 + \frac{x}{3})$

Schritt 9

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - 2 + \frac{x}{3} \end{array}]$