Lineare Algebra Beispiele

$3 x^{2} - 2 x + 1 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$3 x^{2}$

Schritt 7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$3$

Schritt 8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $3 x^{2} - 2 x + 1$ ist immer größer als $0$ .

Keine Lösung