Lineare Algebra Beispiele

$2 x + 4 y - 2 z = - 14$ , $x + 2 y + 4 z = 3$ , $x + 2 y - z = - 7$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & - 2 & - 14 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 & - 7 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{4}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 14}{2} \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 & - 7 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 7 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 & - 7 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 7 \\ 1 - 1 & 2 - 2 & 4 + 1 & 3 + 7 \\ 1 & 2 & - 1 & - 7 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 7 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \\ 1 & 2 & - 1 & - 7 \end{array}]$

Schritt 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 7 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \\ 1 - 1 & 2 - 2 & - 1 + 1 & - 7 + 7 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 7 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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Schritt 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 7 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{10}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 7 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 7 + 1 \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + 2 y = - 5$

$z = 2$

Schritt 4

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5 - 2 y$

$z = 2$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 5 - 2 y, y, 2)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 - 2 y \\ y \\ 2 \end{array}]$