Lineare Algebra Beispiele

${(3)}^{2} a + 3 b + c = 4$ , ${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$ , ${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Schritt 1

Verschiebe Variablen nach links und konstante Terme nach rechts.

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Schritt 1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Schritt 1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Schritt 1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

Schritt 2

Schreibe das System als eine Matrix.

$[\begin{array}{c} 9 & 3 & 1 & 4 \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{9}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{9}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{9} & \frac{3}{9} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 - 25 \cdot 1 & 5 - 25 (\frac{1}{3}) & 1 - 25 (\frac{1}{9}) & 4 - 25 (\frac{4}{9}) \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.3

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{3}) & 1 - 4 (\frac{1}{9}) & 1 - 4 (\frac{4}{9}) \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Schritt 3.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{3}{10}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{3}{10}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ - \frac{3}{10} \cdot 0 & - \frac{3}{10} (- \frac{10}{3}) & - \frac{3}{10} (- \frac{16}{9}) & - \frac{3}{10} (- \frac{64}{9}) \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Schritt 3.5

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{5}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15} & - \frac{7}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{15} \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \end{array}]$

Schritt 3.6

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $5$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.6.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $5$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{11}{5}) \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 3.7

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 - \frac{8}{15} \cdot 0 & 1 - \frac{8}{15} \cdot 0 & \frac{8}{15} - \frac{8}{15} \cdot 1 & \frac{32}{15} - \frac{8}{15} \cdot - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 3.8

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.8.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{4}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 11 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 3.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 3.9

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.9.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 3.9.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 11$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 1, 8, - 11)$