Lineare Algebra Beispiele

$x + y = - 10$ , ${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 10 - y$

${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 10 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in ${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$ durch $- 10 - y$ .

${((- 10 - y) + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${((- 10 - y) + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Addiere $- 10$ und $3$ .

${(- y - 7)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe ${(- y - 7)}^{2}$ als $(- y - 7) (- y - 7)$ um.

$(- y - 7) (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $(- y - 7) (- y - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y - 7) - 7 (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.4.1.2.1

Bewege $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.1.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$y^{2} + 7 y - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$y^{2} + 7 y + 7 y - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.1.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$y^{2} + 7 y + 7 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 7 y + 7 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $7 y$ und $7 y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.5

Schreibe ${(y + 9)}^{2}$ als $(y + 9) (y + 9)$ um.

$y^{2} + 14 y + 49 + (y + 9) (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.6

Multipliziere $(y + 9) (y + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 14 y + 49 + y (y + 9) + 9 (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.7.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.7.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 \cdot y + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.7.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 y + 9 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 y + 9 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.1.7.2

Addiere $9 y$ und $9 y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 14 y + 49 + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $14 y$ und $18 y$ .

$2 y^{2} + 32 y + 49 + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 2.2.1.2.3

Addiere $49$ und $81$ .

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 3

Löse in $2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} + 32 y + 130 - 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10$ von $130$ .

$2 y^{2} + 32 y + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2} + 32 y + 120$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$2 (y^{2}) + 32 y + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $32 y$ heraus.

$2 (y^{2}) + 2 (16 y) + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $120$ heraus.

$2 y^{2} + 2 (16 y) + 2 \cdot 60 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2} + 2 (16 y)$ heraus.

$2 (y^{2} + 16 y) + 2 \cdot 60 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (y^{2} + 16 y) + 2 \cdot 60$ heraus.

$2 (y^{2} + 16 y + 60) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y^{2} + 16 y + 60) = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y^{2} + 16 y + 60$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $60$ und deren Summe $16$ ist.

$6, 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((y + 6) (y + 10)) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 ((y + 6) (y + 10)) = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 6 = 0$

$y + 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.5

Setze $y + 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $y + 6$ gleich $0$ .

$y + 6 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 6$

$x = - 10 - y$

$y = - 6$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.6

Setze $y + 10$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $y + 10$ gleich $0$ .

$y + 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 10$

$x = - 10 - y$

$y = - 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (y + 6) (y + 10) = 0$ wahr machen.

$y = - 6, - 10$

$x = - 10 - y$

$y = - 6, - 10$

$x = - 10 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 10 - y$ durch $- 6$ .

$x = - 10 - (- 6)$

$y = - 6$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 10 - (- 6)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$x = - 10 + 6$

$y = - 6$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 10$ und $6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 10$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 10 - y$ durch $- 10$ .

$x = - 10 - (- 10)$

$y = - 10$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 10 - (- 10)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$x = - 10 + 10$

$y = - 10$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 10$ und $10$ .

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 4, - 6)$

$(0, - 10)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 4, - 6), (0, - 10)$

Gleichungsform:

$x = - 4, y = - 6$

$x = 0, y = - 10$

Schritt 8