Lineare Algebra Beispiele

$- 8 x - 10 y = 24$ , $6 x + 5 y = 2$

Schritt 1

Löse in $- 8 x - 10 y = 24$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $10 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x = 24 + 10 y$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = 24 + 10 y$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = 24 + 10 y$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{24}{- 8} + \frac{10 y}{- 8}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{24}{- 8} + \frac{10 y}{- 8}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{24}{- 8} + \frac{10 y}{- 8}$

$6 x + 5 y = 2$

$x = \frac{24}{- 8} + \frac{10 y}{- 8}$

$6 x + 5 y = 2$

$x = \frac{24}{- 8} + \frac{10 y}{- 8}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $24$ durch $- 8$ .

$x = - 3 + \frac{10 y}{- 8}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $- 8$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$x = - 3 + \frac{2 (5 y)}{- 8}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$x = - 3 + \frac{2 (5 y)}{2 (- 4)}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 3 + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot - 4}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 3 + \frac{5 y}{- 4}$

$6 x + 5 y = 2$

$x = - 3 + \frac{5 y}{- 4}$

$6 x + 5 y = 2$

$x = - 3 + \frac{5 y}{- 4}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$6 x + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$6 x + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$6 x + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$6 x + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$6 x + 5 y = 2$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3 - \frac{5 y}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $6 x + 5 y = 2$ durch $- 3 - \frac{5 y}{4}$ .

$6 (- 3 - \frac{5 y}{4}) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $6 (- 3 - \frac{5 y}{4}) + 5 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cdot - 3 + 6 (- \frac{5 y}{4}) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$- 18 + 6 (- \frac{5 y}{4}) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{4}$ in den Zähler.

$- 18 + 6 (\frac{- 5 y}{4}) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- 18 + 2 (3) (\frac{- 5 y}{4}) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 18 + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 y}{2 \cdot 2})) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 18 + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 y}{2 \cdot 2})) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$- 18 + 3 (\frac{- 5 y}{2}) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 + 3 (\frac{- 5 y}{2}) + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kombiniere $3$ und $\frac{- 5 y}{2}$ .

$- 18 + \frac{3 (- 5 y)}{2} + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 18 + \frac{- 15 y}{2} + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 18 - \frac{15 y}{2} + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 - \frac{15 y}{2} + 5 y = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Um $5 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 18 - \frac{15 y}{2} + 5 y \cdot \frac{2}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $5 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 18 - \frac{15 y}{2} + \frac{5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 18 + \frac{- 15 y + 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 + \frac{- 15 y + 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $5 y$ aus $- 15 y + 5 y \cdot 2$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $5 y$ aus $- 15 y$ heraus.

$- 18 + \frac{5 y (- 3) + 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y \cdot 2$ heraus.

$- 18 + \frac{5 y (- 3) + 5 y (2)}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y (- 3) + 5 y (2)$ heraus.

$- 18 + \frac{5 y (- 3 + 2)}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 + \frac{5 y (- 3 + 2)}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$- 18 + \frac{5 y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 18 + \frac{- 5 y}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 + \frac{- 5 y}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 18 - \frac{5 y}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 - \frac{5 y}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 - \frac{5 y}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 - \frac{5 y}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- 18 - \frac{5 y}{2} = 2$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3

Löse in $- 18 - \frac{5 y}{2} = 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 y}{2} = 2 + 18$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.1.2

Addiere $2$ und $18$ .

$- \frac{5 y}{2} = 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{5 y}{2} = 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2})$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{5} \cdot (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} \cdot (- 5 y) = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$\frac{- 1}{5} \cdot (- 5 y) = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- y)) = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- y)) = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{5} \cdot 20$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 2}{5} \cdot 20$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{- 2}{5} \cdot (5 (4))$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 4)$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 2 \cdot 4$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - 2 \cdot 4$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y = - 8$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - 8$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - 8$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - 8$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

$y = - 8$

$x = - 3 - \frac{5 y}{4}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 8$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 3 - \frac{5 y}{4}$ durch $- 8$ .

$x = - 3 - \frac{5 (- 8)}{4}$

$y = - 8$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 3 - \frac{5 (- 8)}{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $5 (- 8)$ heraus.

$x = - 3 - \frac{4 (5 \cdot (- 2))}{4}$

$y = - 8$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = - 3 - \frac{4 (5 \cdot (- 2))}{4 (1)}$

$y = - 8$

Schritt 4.2.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 3 - \frac{4 (5 \cdot (- 2))}{4 \cdot 1}$

$y = - 8$

Schritt 4.2.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 3 - \frac{5 \cdot (- 2)}{1}$

$y = - 8$

Schritt 4.2.1.1.1.2.4

Dividiere $5 \cdot (- 2)$ durch $1$ .

$x = - 3 - (5 \cdot (- 2))$

$y = - 8$

$x = - 3 - (5 \cdot (- 2))$

$y = - 8$

$x = - 3 - (5 \cdot (- 2))$

$y = - 8$

Schritt 4.2.1.1.2

Multipliziere $- (5 \cdot (- 2))$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$x = - 3 + 10$

$y = - 8$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$x = - 3 + 10$

$y = - 8$

$x = - 3 + 10$

$y = - 8$

$x = - 3 + 10$

$y = - 8$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 3$ und $10$ .

$x = 7$

$y = - 8$

$x = 7$

$y = - 8$

$x = 7$

$y = - 8$

$x = 7$

$y = - 8$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(7, - 8)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(7, - 8)$

Gleichungsform:

$x = 7, y = - 8$

Schritt 7