Lineare Algebra Beispiele

$4 x + 7 y = 15$ , $6 x - 5 y = 21$

Schritt 1

Löse in $4 x + 7 y = 15$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 15 - 7 y$

$6 x - 5 y = 21$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 15 - 7 y$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 15 - 7 y$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $6 x - 5 y = 21$ durch $\frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$ .

$6 (\frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $6 (\frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}) - 5 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (\frac{15}{4}) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) (\frac{15}{4}) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot (3 (\frac{15}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (3 (\frac{15}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{15}{2}) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$3 (\frac{15}{2}) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$\frac{45}{2} + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{45}{2} + 6 (\frac{- 7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{45}{2} + 2 (3) (\frac{- 7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{45}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 7 y}{2 \cdot 2})) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{45}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 7 y}{2 \cdot 2})) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{45}{2} + 3 (\frac{- 7 y}{2}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45}{2} + 3 (\frac{- 7 y}{2}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.6

Kombiniere $3$ und $\frac{- 7 y}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{3 (- 7 y)}{2} - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{45}{2} + \frac{- 21 y}{2} - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{45}{2} - \frac{21 y}{2} - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45}{2} - \frac{21 y}{2} - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 5 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} - \frac{21 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $- 5 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} - \frac{21 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{45}{2} + \frac{- 21 y - 5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{45 - 21 y - 5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{45 - 21 y - 10 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 2.2.1.7

Subtrahiere $10 y$ von $- 21 y$ .

$\frac{45 - 31 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45 - 31 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45 - 31 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45 - 31 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3

Löse in $\frac{45 - 31 y}{2} = 21$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{45 - 31 y}{2} \cdot 2 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{45 - 31 y}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{45 - 31 y}{2} \cdot 2 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$45 - 31 y = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$45 - 31 y = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $45$ und $- 31 y$ um.

$- 31 y + 45 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y + 45 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y + 45 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $21$ mit $2$ .

$- 31 y + 45 = 42$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y + 45 = 42$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y + 45 = 42$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $45$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 31 y = 42 - 45$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $45$ von $42$ .

$- 31 y = - 3$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y = - 3$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 31 y = - 3$ durch $- 31$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 31 y = - 3$ durch $- 31$ .

$\frac{- 31 y}{- 31} = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 31$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 31 y}{- 31} = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{3}{31}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$ durch $\frac{3}{31}$ .

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 (\frac{3}{31})}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{15}{4} - \frac{7 (\frac{3}{31})}{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{15 - 7 (\frac{3}{31})}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1

Multipliziere $- 7 (\frac{3}{31})$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{3}{31}$ .

$x = \frac{15 + \frac{- 7 \cdot 3}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$x = \frac{15 + \frac{- 21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15 + \frac{- 21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{15 - \frac{21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15 - \frac{21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.3

Um $15$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{31}{31}$ .

$x = \frac{15 \cdot \frac{31}{31} - \frac{21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $15$ und $\frac{31}{31}$ .

$x = \frac{\frac{15 \cdot 31}{31} - \frac{21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{15 \cdot 31 - 21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $15$ mit $31$ .

$x = \frac{\frac{465 - 21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.6.2

Subtrahiere $21$ von $465$ .

$x = \frac{\frac{444}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{\frac{444}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{444}{31} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $444$ heraus.

$x = \frac{4 (111)}{31} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot 111}{31} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 4.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{111}{31}, \frac{3}{31})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{111}{31}, \frac{3}{31})$

Gleichungsform:

$x = \frac{111}{31}, y = \frac{3}{31}$

Schritt 7