Lineare Algebra Beispiele

$4 x + 4 y = 5$ , $2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1

Löse in $4 x + 4 y = 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5 - 4 y$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5 - 4 y$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5 - 4 y$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4} + \frac{- 4 y}{4}$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4} + \frac{- 4 y}{4}$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4} + \frac{- 4 y}{4}$

$2 x - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} + \frac{- 4 y}{4}$

$2 x - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} + \frac{- 4 y}{4}$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$x = \frac{5}{4} + \frac{4 (- y)}{4}$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{5}{4} + \frac{4 (- y)}{4 (1)}$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5}{4} + \frac{4 (- y)}{4 \cdot 1}$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{4} + \frac{- y}{1}$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2.4

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4} - y$

$2 x - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$2 x - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$2 x - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$2 x - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$2 x - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$2 x - 8 y = - 5$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{5}{4} - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x - 8 y = - 5$ durch $\frac{5}{4} - y$ .

$2 (\frac{5}{4} - y) - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{5}{4} - y) - 8 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{5}{4}) + 2 (- y) - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{5}{2 (2)}) + 2 (- y) - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{5}{2 \cdot 2}) + 2 (- y) - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2} + 2 (- y) - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$\frac{5}{2} + 2 (- y) - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5}{2} - 2 y - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$\frac{5}{2} - 2 y - 8 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $8 y$ von $- 2 y$ .

$\frac{5}{2} - 10 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$\frac{5}{2} - 10 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$\frac{5}{2} - 10 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

$\frac{5}{2} - 10 y = - 5$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3

Löse in $\frac{5}{2} - 10 y = - 5$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\frac{5}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 y = - 5 - \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.1.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 10 y = - 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 10 y = \frac{- 5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 10 y = \frac{- 5 \cdot 2 - 5}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$- 10 y = \frac{- 10 - 5}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $5$ von $- 10$ .

$- 10 y = \frac{- 15}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

$- 10 y = \frac{- 15}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 10 y = - \frac{15}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

$- 10 y = - \frac{15}{2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 10 y = - \frac{15}{2}$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 y = - \frac{15}{2}$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 y}{- 10} = \frac{- \frac{15}{2}}{- 10}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 y}{- 10} = \frac{- \frac{15}{2}}{- 10}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{15}{2}}{- 10}$

$x = \frac{5}{4} - y$

$y = \frac{- \frac{15}{2}}{- 10}$

$x = \frac{5}{4} - y$

$y = \frac{- \frac{15}{2}}{- 10}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{- 10}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{15}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 15}{2} \cdot \frac{1}{- 10}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$y = \frac{5 (- 3)}{2} \cdot \frac{1}{- 10}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3.2.3

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$y = \frac{5 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{1}{5 \cdot - 2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{1}{5 \cdot - 2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

$y = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 3}{2}$ mit $\frac{1}{- 2}$ .

$y = \frac{- 3}{2 \cdot - 2}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 3}{- 4}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 3.2.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{5}{4} - y$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{5}{4} - y$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{5}{4} - y$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{5}{4} - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{3}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{5}{4} - y$ durch $\frac{3}{4}$ .

$x = \frac{5}{4} - (\frac{3}{4})$

$y = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{5}{4} - (\frac{3}{4})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 - 3}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$x = \frac{2}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{4}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$

Gleichungsform:

$x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{4}$

Schritt 7