Lineare Algebra Beispiele

$16 x - 10 y = 6$ , $8 x - 5 y = 3$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 16 & - 10 & 6 \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{- 10}{16} & \frac{6}{16} \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 5 - 8 (- \frac{5}{8}) & 3 - 8 (\frac{3}{8}) \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x - \frac{5 y}{8} = \frac{3}{8}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 y}{8} = \frac{3}{8} - x$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{8}{5}$ .

$- \frac{8}{5} (- \frac{5 y}{8}) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $- \frac{8}{5} (- \frac{5 y}{8})$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 8}{5} (- \frac{5 y}{8}) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{8}$ in den Zähler.

$\frac{- 8}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.3

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{8 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache $- \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{5}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 8}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$y = \frac{8 (- 1)}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{8 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1}{5} \cdot 3 - \frac{8}{5} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{- 1}{5}$ und $3$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3}{5} - \frac{8}{5} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3}{5} - \frac{8}{5} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.5

Multipliziere $- \frac{8}{5} (- x)$ .

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Schritt 4.3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{5} + 1 (\frac{8}{5}) x$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{8}{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3}{5} + \frac{8}{5} x$

Schritt 4.3.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $x$ .

$y = \frac{- 3}{5} + \frac{8 x}{5}$

Schritt 4.3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{5} + \frac{8 x}{5}$

Schritt 4.4

Stelle $- \frac{3}{5}$ und $\frac{8 x}{5}$ um.

$y = \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5} \end{array}]$