Lineare Algebra Beispiele

$10 = d$ , $7 = a + b + c + d$ , $- 11 = 27 a + 9 b + 3 c + d$ , $- 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = d - 10, 7 = a + b + c + d, - 11 = 27 a + 9 b + 3 c + d, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 2

Subtrahiere $d$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, 7 = a + b + c + d, - 11 = 27 a + 9 b + 3 c + d, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 3

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, 0 = a + b + c + d - 7, - 11 = 27 a + 9 b + 3 c + d, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a = b + c + d - 7, - 11 = 27 a + 9 b + 3 c + d, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 4.2

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b = c + d - 7, - 11 = 27 a + 9 b + 3 c + d, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 4.3

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c = d - 7, - 11 = 27 a + 9 b + 3 c + d, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 4.4

Subtrahiere $d$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 11 = 27 a + 9 b + 3 c + d, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 5

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, 0 = 27 a + 9 b + 3 c + d + 11, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $27 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a = 9 b + 3 c + d + 11, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 6.2

Subtrahiere $9 b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a - 9 b = 3 c + d + 11, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 6.3

Subtrahiere $3 c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a - 9 b - 3 c = d + 11, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 6.4

Subtrahiere $d$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a - 9 b - 3 c - d = 11, - 14 = 64 a + 16 b + 4 c + d$

Schritt 7

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a - 9 b - 3 c - d = 11, 0 = 64 a + 16 b + 4 c + d + 14$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $64 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a - 9 b - 3 c - d = 11, - 64 a = 16 b + 4 c + d + 14$

Schritt 8.2

Subtrahiere $16 b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a - 9 b - 3 c - d = 11, - 64 a - 16 b = 4 c + d + 14$

Schritt 8.3

Subtrahiere $4 c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a - 9 b - 3 c - d = 11, - 64 a - 16 b - 4 c = d + 14$

Schritt 8.4

Subtrahiere $d$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- d = - 10, - a - b - c - d = - 7, - 27 a - 9 b - 3 c - d = 11, - 64 a - 16 b - 4 c - d = 14$

Schritt 9

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 7 \\ - 27 & - 9 & - 3 & - 1 & 11 \\ - 64 & - 16 & - 4 & - 1 & 14 \end{array}]$

Schritt 10

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 10.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ - 27 & - 9 & - 3 & - 1 & 11 \\ - 64 & - 16 & - 4 & - 1 & 14 \end{array}]$

Schritt 10.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 10.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 1 & - - 1 & - - 1 & - - 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ - 27 & - 9 & - 3 & - 1 & 11 \\ - 64 & - 16 & - 4 & - 1 & 14 \end{array}]$

Schritt 10.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ - 27 & - 9 & - 3 & - 1 & 11 \\ - 64 & - 16 & - 4 & - 1 & 14 \end{array}]$

Schritt 10.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 27 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 10.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 27 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ - 27 + 27 \cdot 1 & - 9 + 27 \cdot 1 & - 3 + 27 \cdot 1 & - 1 + 27 \cdot 1 & 11 + 27 \cdot 7 \\ - 64 & - 16 & - 4 & - 1 & 14 \end{array}]$

Schritt 10.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 18 & 24 & 26 & 200 \\ - 64 & - 16 & - 4 & - 1 & 14 \end{array}]$

Schritt 10.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 64 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Schritt 10.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 64 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 18 & 24 & 26 & 200 \\ - 64 + 64 \cdot 1 & - 16 + 64 \cdot 1 & - 4 + 64 \cdot 1 & - 1 + 64 \cdot 1 & 14 + 64 \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 10.4.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 18 & 24 & 26 & 200 \\ 0 & 48 & 60 & 63 & 462 \end{array}]$

Schritt 10.5

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 18 & 24 & 26 & 200 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 48 & 60 & 63 & 462 \end{array}]$

Schritt 10.6

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{18}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 10.6.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{18}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ \frac{0}{18} & \frac{18}{18} & \frac{24}{18} & \frac{26}{18} & \frac{200}{18} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 48 & 60 & 63 & 462 \end{array}]$

Schritt 10.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 48 & 60 & 63 & 462 \end{array}]$

Schritt 10.7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 48 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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Schritt 10.7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 48 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 - 48 \cdot 0 & 48 - 48 \cdot 1 & 60 - 48 (\frac{4}{3}) & 63 - 48 (\frac{13}{9}) & 462 - 48 (\frac{100}{9}) \end{array}]$

Schritt 10.7.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & - 4 & - \frac{19}{3} & - \frac{214}{3} \end{array}]$

Schritt 10.8

Swap $R_{4}$ with $R_{3}$ to put a nonzero entry at $3, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 & 0 & - 4 & - \frac{19}{3} & - \frac{214}{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \end{array}]$

Schritt 10.9

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 10.9.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} (- \frac{19}{3}) & - \frac{1}{4} (- \frac{214}{3}) \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \end{array}]$

Schritt 10.9.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{19}{12} & \frac{107}{6} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 10 \end{array}]$

Schritt 10.10

Multiply each element of $R_{4}$ by $- 1$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

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Schritt 10.10.1

Multiply each element of $R_{4}$ by $- 1$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{19}{12} & \frac{107}{6} \\ - 0 & - 0 & - 0 & - - 1 & - - 10 \end{array}]$

Schritt 10.10.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{19}{12} & \frac{107}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.11

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{19}{12} R_{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

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Schritt 10.11.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{19}{12} R_{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 - \frac{19}{12} \cdot 0 & 0 - \frac{19}{12} \cdot 0 & 1 - \frac{19}{12} \cdot 0 & \frac{19}{12} - \frac{19}{12} \cdot 1 & \frac{107}{6} - \frac{19}{12} \cdot 10 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.11.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & \frac{13}{9} & \frac{100}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.12

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{13}{9} R_{4}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

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Schritt 10.12.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{13}{9} R_{4}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 - \frac{13}{9} \cdot 0 & 1 - \frac{13}{9} \cdot 0 & \frac{4}{3} - \frac{13}{9} \cdot 0 & \frac{13}{9} - \frac{13}{9} \cdot 1 & \frac{100}{9} - \frac{13}{9} \cdot 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.12.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & 0 & - \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.13

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

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Schritt 10.13.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 7 - 10 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & 0 & - \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.13.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & 0 & - \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.14

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{4}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 10.14.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{4}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 - \frac{4}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{10}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.14.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.15

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 10.15.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 3 - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.15.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.16

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 10.16.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & - 5 + 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 10.16.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Schritt 11

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 2$

$d = 10$

Schritt 12

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(1, - 6, 2, 10)$

Schritt 13

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 6 \\ 2 \\ 10 \end{array}]$