Lineare Algebra Beispiele

$f = 1 - 0.2625 + \frac{x}{4500} + 0.75 (\frac{y}{4500}) + (\frac{y (t - x - y)}{4500 \cdot 1800})$ , $1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$f = 1 - 0.2625 + \frac{x}{4500} + 0.75 (\frac{y}{4500}) + \frac{y (t - x - y)}{4500 \cdot 1800}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.75$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $0.75$ aus $4500$ heraus.

$f = 1 - 0.2625 + \frac{x}{4500} + 0.75 \frac{y}{0.75 (6000)} + \frac{y (t - x - y)}{4500 \cdot 1800}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f = 1 - 0.2625 + \frac{x}{4500} + 0.75 \frac{y}{0.75 \cdot 6000} + \frac{y (t - x - y)}{4500 \cdot 1800}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f = 1 - 0.2625 + \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{y (t - x - y)}{4500 \cdot 1800}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $4500$ mit $1800$ .

$f = 1 - 0.2625 + \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{y (t - x - y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $0.2625$ von $1$ .

$f = 0.7375 + \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{y (t - x - y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.3

Um $0.7375$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8100000}{8100000}$ .

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + 0.7375 \cdot \frac{8100000}{8100000} + \frac{y (t - x - y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.4

Kombiniere $0.7375$ und $\frac{8100000}{8100000}$ .

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{0.7375 \cdot 8100000}{8100000} + \frac{y (t - x - y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{0.7375 \cdot 8100000 + y (t - x - y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $0.7375$ mit $8100000$ .

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{5973750 + y (t - x - y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{5973750 + y t + y (- x) + y (- y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.7.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{5973750 + y t - y x + y (- y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.7.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{5973750 + y t - y x - y \cdot y}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.7.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1

Bewege $y$ .

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{5973750 + y t - y x - (y \cdot y)}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.7.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$f = \frac{x}{4500} + \frac{y}{6000} + \frac{5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.8

Um $\frac{x}{4500}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1800}{1800}$ .

$f = \frac{y}{6000} + \frac{x}{4500} \cdot \frac{1800}{1800} + \frac{5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8100000$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{x}{4500}$ mit $\frac{1800}{1800}$ .

$f = \frac{y}{6000} + \frac{x \cdot 1800}{4500 \cdot 1800} + \frac{5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $4500$ mit $1800$ .

$f = \frac{y}{6000} + \frac{x \cdot 1800}{8100000} + \frac{5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f = \frac{y}{6000} + \frac{x \cdot 1800 + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.11

Bringe $1800$ auf die linke Seite von $x$ .

$f = \frac{y}{6000} + \frac{1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.12

Um $\frac{y}{6000}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1350}{1350}$ .

$f = \frac{y}{6000} \cdot \frac{1350}{1350} + \frac{1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8100000$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $\frac{y}{6000}$ mit $\frac{1350}{1350}$ .

$f = \frac{y \cdot 1350}{6000 \cdot 1350} + \frac{1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $6000$ mit $1350$ .

$f = \frac{y \cdot 1350}{8100000} + \frac{1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f = \frac{y \cdot 1350 + 1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 2.15

Bringe $1350$ auf die linke Seite von $y$ .

$f = \frac{1350 y + 1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{1350 y + 1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f - \frac{1350 y + 1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.2

Um $f$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8100000}{8100000}$ .

$f \cdot \frac{8100000}{8100000} - \frac{1350 y + 1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.3

Kombiniere $f$ und $\frac{8100000}{8100000}$ .

$\frac{f \cdot 8100000}{8100000} - \frac{1350 y + 1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{f \cdot 8100000 - (1350 y + 1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2})}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Bringe $8100000$ auf die linke Seite von $f$ .

$\frac{8100000 \cdot f - (1350 y + 1800 x + 5973750 + y t - y x - y^{2})}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8100000 f - (1350 y) - (1800 x) - 1 \cdot 5973750 - (y t) - (- y x) - - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $1350$ mit $- 1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - (1800 x) - 1 \cdot 5973750 - (y t) - (- y x) - - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $1800$ mit $- 1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 1 \cdot 5973750 - (y t) - (- y x) - - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5973750$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - (y t) - (- y x) - - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5.3.4

Multipliziere $- (- y x)$ .

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Schritt 3.5.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + 1 (y x) - - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5.3.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x - - y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5.3.5

Multipliziere $- - y^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x + 1 y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 3.5.3.5.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x + y^{2}}{8100000} = 0, 1 - (0.35 - \frac{x}{3375}) - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x + y^{2}}{8100000} = 0, 1 - 1 \cdot 0.35 - - \frac{x}{3375} - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.35$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x + y^{2}}{8100000} = 0, 1 - 0.35 - - \frac{x}{3375} - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- - \frac{x}{3375}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x + y^{2}}{8100000} = 0, 1 - 0.35 + 1 \frac{x}{3375} - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{3375}$ mit $1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x + y^{2}}{8100000} = 0, 1 - 0.35 + \frac{x}{3375} - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $0.35$ von $1$ .

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x + y^{2}}{8100000} = 0, 0.65 + \frac{x}{3375} - \frac{y}{4500} = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $0.65$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{8100000 f - 1350 y - 1800 x - 5973750 - y t + y x + y^{2}}{8100000} = 0, \frac{x}{3375} - \frac{y}{4500} = - 0.65$

Schritt 6

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{8100000} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3375} & - \frac{1}{4500} & - 0.65 \end{array}]$

Schritt 7

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 7.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1.2345679 \cdot 10^{- 7}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 7.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1.2345679 \cdot 10^{- 7}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{\frac{1}{8100000}}{1.2345679 \cdot 10^{- 7}} & \frac{0}{1.2345679 \cdot 10^{- 7}} & \frac{0}{1.2345679 \cdot 10^{- 7}} & \frac{0}{1.2345679 \cdot 10^{- 7}} & \frac{0}{1.2345679 \cdot 10^{- 7}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{3375} & - \frac{1}{4500} & - 0.65 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3375} & - \frac{1}{4500} & - 0.65 \end{array}]$

Schritt 7.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $3375$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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Schritt 7.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $3375$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3375 \cdot 0 & 3375 \cdot 0 & 3375 (\frac{1}{3375}) & 3375 (- \frac{1}{4500}) & 3375 \cdot - 0.65 \end{array}]$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{4} & - 2193.75 \end{array}]$

Schritt 8

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$1 f = 0$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $1 f = 0$ durch $1$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $1 f = 0$ durch $1$ .

$\frac{1 f}{1} = \frac{0}{1}$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 f}{1} = \frac{0}{1}$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $f$ durch $1$ .

$f = \frac{0}{1}$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

$f = \frac{0}{1}$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

$f = \frac{0}{1}$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f = 0$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

$f = 0$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

$f = 0$

$x - \frac{3 y}{4} = - 2193.75$

Schritt 10

Addiere $\frac{3 y}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2193.75 + \frac{3 y}{4}$

$f = 0$

Schritt 11

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(0, t, - 2193.75 + \frac{3 y}{4}, y)$

Schritt 12

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} f \\ t \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ t \\ - 2193.75 + \frac{3 y}{4} \\ y \end{array}]$