Lineare Algebra Beispiele

$5 a + 3 b = 35$ , $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & 35 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{35}{5} \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} - \frac{1}{b} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{b} \cdot \frac{3}{5} & \frac{2}{5} - \frac{1}{b} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & - \frac{3}{5 b} & \frac{2}{5} - \frac{7}{b} \end{array}]$

Schritt 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ - \frac{5 b}{3} \cdot 0 & - \frac{5 b}{3} (- \frac{3}{5 b}) & - \frac{5 b}{3} (\frac{2}{5} - \frac{7}{b}) \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Schritt 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & 7 - \frac{3}{5} (- \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2 b}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $b$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $\frac{2 b}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.1.2

Um $b$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$b \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $b$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{b \cdot 3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{b \cdot 3 + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{3 \cdot b + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $3 b$ und $2 b$ .

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$5 b = 35$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $5 b = 35$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 b = 35$ durch $5$ .

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $35$ durch $5$ .

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{2 b}{5}, 7)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 b}{5} \\ 7 \end{array}]$