Lineare Algebra Beispiele

$- 4 x - 6 y = 8$ , $24 y = - 16 x - 32$

Schritt 1

Addiere $16 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x - 6 y = 8, 24 y + 16 x = - 32$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 4 & - 6 & 8 \\ 16 & 24 & - 32 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot - 6 & - \frac{1}{4} \cdot 8 \\ 16 & 24 & - 32 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 \\ 16 & 24 & - 32 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 16 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 16 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 \\ 16 - 16 \cdot 1 & 24 - 16 (\frac{3}{2}) & - 32 - 16 \cdot - 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{3 y}{2} = - 2$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y}{2} = - 2 - x$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (- 2 - x)$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{3} \cdot - 2 + \frac{2}{3} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$y = \frac{2 \cdot - 2}{3} + \frac{2}{3} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 4}{3} + \frac{2}{3} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{- 4}{3} - \frac{2 x}{3}$

Schritt 5.3.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4}{3} - \frac{2 x}{3}$

Schritt 5.4

Stelle $- \frac{4}{3}$ und $- \frac{2 x}{3}$ um.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3})$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} \end{array}]$