Lineare Algebra Beispiele

$4 x - 3 y = - 2$ , $- 12 x + 9 y = 6$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 4 & - 3 & - 2 \\ - 12 & 9 & 6 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 3}{4} & \frac{- 2}{4} \\ - 12 & 9 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - 12 & 9 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - 12 + 12 \cdot 1 & 9 + 12 (- \frac{3}{4}) & 6 + 12 (- \frac{1}{2}) \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x - \frac{3 y}{4} = - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 y}{4} = - \frac{1}{2} - x$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (- \frac{1}{2} - x)$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{2}) - \frac{4}{3} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 4}{3} (- \frac{1}{2}) - \frac{4}{3} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1}{2} - \frac{4}{3} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{- 1}{2} - \frac{4}{3} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{- 1}{2} - \frac{4}{3} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 2}{3} \cdot - 1 - \frac{4}{3} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{- 2}{3}$ und $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \cdot - 1}{3} - \frac{4}{3} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} (- x)$

Schritt 4.3.2.1.5

Multipliziere $- \frac{4}{3} (- x)$ .

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Schritt 4.3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2}{3} + 1 (\frac{4}{3}) x$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} x$

Schritt 4.3.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{2}{3} + \frac{4 x}{3}$

Schritt 4.4

Stelle $\frac{2}{3}$ und $\frac{4 x}{3}$ um.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3} \end{array}]$