Lineare Algebra Beispiele

$4 a + b - 3 d = 8$ , $10 b + 9 d = 0$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & - 3 & 8 \\ 0 & 10 & 9 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{1}{4} & \frac{- 3}{4} & \frac{8}{4} \\ 0 & 10 & 9 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & - \frac{3}{4} & 2 \\ 0 & 10 & 9 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & - \frac{3}{4} & 2 \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{9}{10} & \frac{0}{10} \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & - \frac{3}{4} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{9}{10} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{10} & 2 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{10} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{39}{40} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{9}{10} & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a - \frac{39 d}{40} = 2$

$b + \frac{9 d}{10} = 0$

Schritt 4

Addiere $\frac{39 d}{40}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 2 + \frac{39 d}{40}$

$b + \frac{9 d}{10} = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $\frac{9 d}{10}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - \frac{9 d}{10}$

$a = 2 + \frac{39 d}{40}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(2 + \frac{39 d}{40}, - \frac{9 d}{10}, d)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 + \frac{39 d}{40} \\ - \frac{9 d}{10} \\ d \end{array}]$