Lineare Algebra Beispiele

$(x + y + z) = 2$ , $(2 x + y - z) = - 1$ , $(5 - 2 z) = x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, 5 - 2 z = x$

Schritt 2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, - 2 z = x - 5$

Schritt 3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, - 2 z - x = - 5$

Schritt 4

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Schritt 5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Schritt 5.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 1 & - 5 + 1 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Schritt 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ - 0 & - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Schritt 5.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - 3 & - 3 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & - 4 & - 8 \end{array}]$

Schritt 5.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot - 8 \end{array}]$

Schritt 5.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 2 - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 6

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 1$

$y = - 1$

$z = 2$

Schritt 7

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(1, - 1, 2)$

Schritt 8

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}]$