Lineare Algebra Beispiele

$(2 x - 2 y + z) = - 15$ , $(6 x - 3 y - z) = - 19$ , $(3 x - y - z) = - 6$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$2 x - 2 y + z = - 15, 6 x - 3 y - z = - 19, 3 x - y - z = - 6$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & 1 & - 15 \\ 6 & - 3 & - 1 & - 19 \\ 3 & - 1 & - 1 & - 6 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 15}{2} \\ 6 & - 3 & - 1 & - 19 \\ 3 & - 1 & - 1 & - 6 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 6 & - 3 & - 1 & - 19 \\ 3 & - 1 & - 1 & - 6 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 3 - 6 \cdot - 1 & - 1 - 6 (\frac{1}{2}) & - 19 - 6 (- \frac{15}{2}) \\ 3 & - 1 & - 1 & - 6 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 3 & - 4 & 26 \\ 3 & - 1 & - 1 & - 6 \end{array}]$

Schritt 3.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 3 & - 4 & 26 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot - 1 & - 1 - 3 (\frac{1}{2}) & - 6 - 3 (- \frac{15}{2}) \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 3 & - 4 & 26 \\ 0 & 2 & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} \end{array}]$

Schritt 3.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 4}{3} & \frac{26}{3} \\ 0 & 2 & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{26}{3} \\ 0 & 2 & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} \end{array}]$

Schritt 3.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{26}{3} \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{5}{2} - 2 (- \frac{4}{3}) & \frac{33}{2} - 2 (\frac{26}{3}) \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{26}{3} \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{5}{6} \end{array}]$

Schritt 3.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $6$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 3.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $6$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{26}{3} \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 0 & 6 (\frac{1}{6}) & 6 (- \frac{5}{6}) \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{3} & \frac{26}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Schritt 3.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{4}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 3.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{4}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & \frac{26}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Schritt 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{15}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Schritt 3.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Schritt 3.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & - 5 + 1 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Schritt 3.9.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = - 3$

$y = 2$

$z = - 5$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 3, 2, - 5)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 5 \end{array}]$