Lineare Algebra Beispiele

$x + 2 y - 4 z = 4$ , $- 3 x - 6 y + 12 z = - 12$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 & - 6 & 12 & - 12 \end{array}]$

Schritt 2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 \cdot 2 & 12 + 3 \cdot - 4 & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + 2 y - 4 z = 4$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y - 4 z = 4 - x$

Schritt 4.1.2

Addiere $4 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 4 - x + 4 z$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 4 - x + 4 z$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 4 - x + 4 z$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = 2 + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Schritt 4.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Schritt 4.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 z$ heraus.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2}$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 (1)}$

Schritt 4.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 z}{1}$

Schritt 4.2.3.1.3.2.4

Dividiere $2 z$ durch $1$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + 2 z$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, 2 - \frac{x}{2} + 2 z, z)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 - \frac{x}{2} + 2 z \\ z \end{array}]$