Lineare Algebra Beispiele

$- x + y + 2 x = - 10$ , $x + y - z = 7$ , $2 x + y + z = 5$

Schritt 1

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$x + y = - 10, x + y - z = 7, 2 x + y + z = 5$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 1 & 1 & - 1 & 7 \\ 2 & 1 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & - 1 - 0 & 7 + 10 \\ 2 & 1 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 & 0 & - 1 & 17 \\ 2 & 1 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 & 0 & - 1 & 17 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 5 - 2 \cdot - 10 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 & 0 & - 1 & 17 \\ 0 & - 1 & 1 & 25 \end{array}]$

Schritt 3.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 & - 1 & 1 & 25 \\ 0 & 0 & - 1 & 17 \end{array}]$

Schritt 3.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 25 \\ 0 & 0 & - 1 & 17 \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 & 1 & - 1 & - 25 \\ 0 & 0 & - 1 & 17 \end{array}]$

Schritt 3.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 3.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 & 1 & - 1 & - 25 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 17 \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 & 1 & - 1 & - 25 \\ 0 & 0 & 1 & - 17 \end{array}]$

Schritt 3.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 3.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 25 - 17 \\ 0 & 0 & 1 & - 17 \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 10 \\ 0 & 1 & 0 & - 42 \\ 0 & 0 & 1 & - 17 \end{array}]$

Schritt 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 10 + 42 \\ 0 & 1 & 0 & - 42 \\ 0 & 0 & 1 & - 17 \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 32 \\ 0 & 1 & 0 & - 42 \\ 0 & 0 & 1 & - 17 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 32$

$y = - 42$

$z = - 17$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(32, - 42, - 17)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 32 \\ - 42 \\ - 17 \end{array}]$