Lineare Algebra Beispiele

$x + 3 y = 10$ , $4 x + 12 y = 40$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 10 \\ 4 & 12 & 40 \end{array}]$

Schritt 2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 10 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 12 - 4 \cdot 3 & 40 - 4 \cdot 10 \end{array}]$

Schritt 2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + 3 y = 10$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 10 - x$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 10 - x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 10 - x$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{10}{3} + \frac{- x}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{10}{3} + \frac{- x}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{10}{3} + \frac{- x}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{10}{3} - \frac{x}{3}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, \frac{10}{3} - \frac{x}{3})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{10}{3} - \frac{x}{3} \end{array}]$