Lineare Algebra Beispiele

$x = 7 (y - 5)$ , $4 y = 3 x + 5$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 7 y + 7 \cdot - 5, 4 y = 3 x + 5$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$x = 7 y - 35, 4 y = 3 x + 5$

Schritt 2

Subtrahiere $7 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 7 y = - 35, 4 y = 3 x + 5$

Schritt 3

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 7 y = - 35, 4 y - 3 x = 5$

Schritt 4

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$

Schritt 5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot - 7 & 5 + 3 \cdot - 35 \end{array}]$

Schritt 5.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & - 17 & - 100 \end{array}]$

Schritt 5.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{17}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 5.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{17}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ - \frac{1}{17} \cdot 0 & - \frac{1}{17} \cdot - 17 & - \frac{1}{17} \cdot - 100 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Schritt 5.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 35 + 7 (\frac{100}{17}) \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Schritt 6

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = \frac{105}{17}$

$y = \frac{100}{17}$

Schritt 7

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{105}{17}, \frac{100}{17})$

Schritt 8

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{105}{17} \\ \frac{100}{17} \end{array}]$