Lineare Algebra Beispiele

$x + y + z = 12$ , $2 x - y + z = 7$ , $x + 2 y - z = 6$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 2 & - 1 & 1 & 7 \\ 1 & 2 & - 1 & 6 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & 7 - 2 \cdot 12 \\ 1 & 2 & - 1 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & - 3 & - 1 & - 17 \\ 1 & 2 & - 1 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & - 3 & - 1 & - 17 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & - 1 - 1 & 6 - 12 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & - 3 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & - 2 & - 6 \end{array}]$

Schritt 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 17 \\ 0 & 1 & - 2 & - 6 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{17}{3} \\ 0 & 1 & - 2 & - 6 \end{array}]$

Schritt 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{17}{3} \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 2 - \frac{1}{3} & - 6 - \frac{17}{3} \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{17}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & - \frac{35}{3} \end{array}]$

Schritt 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{3}{7}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{3}{7}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{17}{3} \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} (- \frac{35}{3}) \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{17}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{17}{3} - \frac{1}{3} \cdot 5 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 12 - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 7 - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 3$

$y = 4$

$z = 5$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(3, 4, 5)$

Schritt 5

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}]$