Lineare Algebra Beispiele

$x + y = 6$ , $\frac{x}{y} = 2$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ \frac{1}{y} & 0 & 2 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{y} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{y} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{y} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{y} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ 0 & - \frac{1}{y} & 2 - \frac{6}{y} \end{array}]$

Schritt 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- y$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- y$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ - y \cdot 0 & - y (- \frac{1}{y}) & - y (2 - \frac{6}{y}) \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Schritt 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 6 - (- 2 y + 6) \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 y \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 2 y$

$y = - 2 y + 6$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + 2 y = 6$

$x = 2 y$

Schritt 4.1.2

Addiere $y$ und $2 y$ .

$3 y = 6$

$x = 2 y$

$3 y = 6$

$x = 2 y$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 6$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(2 y, 2)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ 2 \end{array}]$