Lineare Algebra Beispiele

$y = 3 x + 2$ , $- 3 x + y = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 3 x = 2, - 3 x + y = 2$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ - 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ - 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ - 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 (- \frac{1}{3}) & 2 + 3 (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x - \frac{y}{3} = - \frac{2}{3}$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{3} = - \frac{2}{3} - x$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{y}{3})$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{2}{3} - x)$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 3 (- \frac{2}{3}) - 3 (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$y = - 3 (\frac{- 2}{3}) - 3 (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = 3 (- 1) \frac{- 2}{3} - 3 (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 \cdot - 1 \frac{- 2}{3} - 3 (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - - 2 - 3 (- x)$

Schritt 5.3.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = 2 - 3 (- x)$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = 2 + 3 x$

Schritt 5.4

Stelle $2$ und $3 x$ um.

$y = 3 x + 2$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, 3 x + 2)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 3 x + 2 \end{array}]$