Lineare Algebra Beispiele

$y = 3 x$ , $2 x - 3 y = 22$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 3 x = 0, 2 x - 3 y = 22$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 3 & 22 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 2 & - 3 & 22 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 22 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (- \frac{1}{3}) & 22 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{7}{3} & 22 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 22 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{66}{7} \end{array}]$

Schritt 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} (- \frac{66}{7}) \\ 0 & 1 & - \frac{66}{7} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{22}{7} \\ 0 & 1 & - \frac{66}{7} \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = - \frac{22}{7}$

$y = - \frac{66}{7}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- \frac{22}{7}, - \frac{66}{7})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{22}{7} \\ - \frac{66}{7} \end{array}]$