Lineare Algebra Beispiele

$x + y - z = - 1$ , $- x + z = 0$ , $y + 4 z = 19$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 19 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 - 1 & 0 - 1 \\ 0 & 1 & 4 & 19 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 4 & 19 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 4 - 0 & 19 + 1 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 4 & 20 \end{array}]$

Schritt 2.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 2.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ \frac{0}{4} & \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{20}{4} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 4 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 5$

$y = - 1$

$z = 5$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(5, - 1, 5)$

Schritt 5

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 5 \end{array}]$