Lineare Algebra Beispiele

$x + y - z = 1$ , $2 x + 3 y + a z = 3$ , $x + a y + 3 z = 2$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.#

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ z & 2 & 3 & 0 & 3 \\ y & 1 & 0 & 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Vertausche $R_{2}$ mit $R_{1}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in $1, 1$ zu machen.

$[\begin{array}{c} z & 2 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ y & 1 & 0 & 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.2

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{z}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{z}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{z}{z} & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & \frac{0}{z} & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ y & 1 & 0 & 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ y & 1 & 0 & 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.3

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - y R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - y R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ y - y \cdot 1 & 1 - y \frac{2}{z} & 0 - y \frac{3}{z} & 3 - y \cdot 0 & 2 - y \frac{3}{z} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 - \frac{2 y}{z} & - \frac{3 y}{z} & 3 & 2 - \frac{3 y}{z} \end{array}]$

Schritt 2.4

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - (1 - \frac{2 y}{z}) R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - (1 - \frac{2 y}{z}) R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot 0 & 1 - \frac{2 y}{z} - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot 1 & - \frac{3 y}{z} - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot 1 & 3 - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot - 1 & 2 - \frac{3 y}{z} - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 - \frac{y}{z} & 4 - \frac{2 y}{z} & 1 - \frac{y}{z} \end{array}]$

Schritt 2.5

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $\frac{1}{- 1 - \frac{y}{z}}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $\frac{1}{- 1 - \frac{y}{z}}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ \frac{0}{- 1 - \frac{y}{z}} & \frac{0}{- 1 - \frac{y}{z}} & \frac{- 1 - \frac{y}{z}}{- 1 - \frac{y}{z}} & \frac{4 - \frac{2 y}{z}}{- 1 - \frac{y}{z}} & \frac{1 - \frac{y}{z}}{- 1 - \frac{y}{z}} \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Schritt 2.6

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & 1 + \frac{z - y}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Schritt 2.7

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{z} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{z} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{z} \cdot 0 & \frac{2}{z} - \frac{3}{z} \cdot 0 & \frac{3}{z} - \frac{3}{z} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{z} (- \frac{2 (2 z - y)}{z + y}) & \frac{3}{z} - \frac{3}{z} (- \frac{z - y}{z + y}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & 0 & \frac{6 (2 z - y)}{z (z + y)} & \frac{6}{z + y} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Schritt 2.8

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{z} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.8.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{z} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{z} \cdot 0 & \frac{2}{z} - \frac{2}{z} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{z} \cdot 0 & \frac{6 (2 z - y)}{z (z + y)} - \frac{2}{z} (- \frac{3 (y - z)}{z + y}) & \frac{6}{z + y} - \frac{2}{z} \cdot \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Schritt 2.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{6}{z + y} & \frac{2}{y + z} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a + \frac{6 z}{z + y} = \frac{2}{y + z}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $\frac{2}{y + z}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a + \frac{6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.1.2

Um $a$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z + y}{z + y}$ .

$a \cdot \frac{z + y}{z + y} + \frac{6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $a$ und $\frac{z + y}{z + y}$ .

$\frac{a (z + y)}{z + y} + \frac{6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (z + y) + 6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a z + a y + 6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.1.6

Stelle die Terme um.

$\frac{a z + a y + 6 z}{y + z} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a z + a y + 6 z - 2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$\frac{a z + a y + 6 z - 2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.2

Setze den Zähler gleich Null.

$a z + a y + 6 z - 2 = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 4.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1.1

Subtrahiere $6 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a z + a y - 2 = - 6 z$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a z + a y = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a z + a y = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $a$ aus $a z + a y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $a$ aus $a z$ heraus.

$a (z) + a y = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $a$ aus $a y$ heraus.

$a (z) + a (y) = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $a$ aus $a (z) + a (y)$ heraus.

$a (z + y) = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a (z + y) = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3

Teile jeden Ausdruck in $a (z + y) = - 6 z + 2$ durch $z + y$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $a (z + y) = - 6 z + 2$ durch $z + y$ .

$\frac{a (z + y)}{z + y} = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + y$ .

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (z + y)}{z + y} = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{- 6 z + 2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 z + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 z$ heraus.

$a = \frac{2 (- 3 z) + 2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$a = \frac{2 (- 3 z) + 2 (1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 z) + 2 (1)$ heraus.

$a = \frac{2 (- 3 z + 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = \frac{2 (- 3 z + 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 z$ heraus.

$a = \frac{2 (- (3 z) + 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$a = \frac{2 (- (3 z) - 1 \cdot - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 z) - 1 (- 1)$ heraus.

$a = \frac{2 (- (3 z - 1))}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.3.6.1

Schreibe $- (3 z - 1)$ als $- 1 (3 z - 1)$ um.

$a = \frac{2 (- 1 (3 z - 1))}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 4.3.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $\frac{2 z}{z + y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z + y}{z + y}$ .

$x \cdot \frac{z + y}{z + y} - \frac{3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{z + y}{z + y}$ .

$\frac{x (z + y)}{z + y} - \frac{3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (z + y) - 3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x z + x y - 3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x z + x y + (- 3 y - 3 (- z)) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{x z + x y + (- 3 y + 3 z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z \cdot z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.5.5

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.5.1

Bewege $z$ .

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 (z \cdot z)}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.5.5.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2}}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2}}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2}}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2} - 2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2} - 2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x z + x y - 3 y z + 3 z^{2} - 2 z = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Addiere $3 y z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x z + x y + 3 z^{2} - 2 z = 3 y z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.1.2

Subtrahiere $3 z^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x z + x y - 2 z = 3 y z - 3 z^{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.1.3

Addiere $2 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x z + x y = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x z + x y = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x z + x y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x z$ heraus.

$x (z) + x y = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$x (z) + x (y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (z) + x (y)$ heraus.

$x (z + y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x (z + y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $x (z + y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$ durch $z + y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x (z + y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$ durch $z + y$ .

$\frac{x (z + y)}{z + y} = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (z + y)}{z + y} = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{3 y z}{z + y} - \frac{3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 y z - 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 y z - 3 z^{2} + 2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.3.4

Faktorisiere $z$ aus $3 y z - 3 z^{2} + 2 z$ heraus.

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Schritt 5.3.3.3.4.1

Faktorisiere $z$ aus $3 y z$ heraus.

$x = \frac{z (3 y) - 3 z^{2} + 2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.3.4.2

Faktorisiere $z$ aus $- 3 z^{2}$ heraus.

$x = \frac{z (3 y) + z (- 3 z) + 2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.3.4.3

Faktorisiere $z$ aus $2 z$ heraus.

$x = \frac{z (3 y) + z (- 3 z) + z \cdot 2}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.3.4.4

Faktorisiere $z$ aus $z (3 y) + z (- 3 z)$ heraus.

$x = \frac{z (3 y - 3 z) + z \cdot 2}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 5.3.3.3.4.5

Faktorisiere $z$ aus $z (3 y - 3 z) + z \cdot 2$ heraus.

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, z + y, z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

$1$ Notiere die Primfaktoren jeder Zahl.

$2$ Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.1.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.1.5

Der Teiler von $z + y$ ist $z + y$ selbst.

$(z + y) = z + y$

$(z + y)$ occurs $1$ time.

Schritt 6.1.6

Das kgV von $z + y, z + y$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2

Multipliziere jeden Term in $y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$ mit $z + y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere jeden Term in $y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$ mit $z + y$ .

$y (z + y) - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y z + y \cdot y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y z + y^{2} - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + y$ .

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 (2 z - y) z}{z + y}$ in den Zähler.

$y z + y^{2} + \frac{- 2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y z + y^{2} + \frac{- 2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y z + y^{2} - 2 (2 z - y) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y z + y^{2} - 2 (2 z - y) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y z + y^{2} + (- 2 (2 z) - 2 (- y)) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y z + y^{2} + (- 4 z - 2 (- y)) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y z + y^{2} + (- 4 z + 2 y) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y z + y^{2} - 4 z \cdot z + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.8

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.8.1

Bewege $z$ .

$y z + y^{2} - 4 (z \cdot z) + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.1.8.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$y z + y^{2} - 4 z^{2} + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y z + y^{2} - 4 z^{2} + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y z + y^{2} - 4 z^{2} + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $y z$ und $2 y z$ .

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + y$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{z - y}{z + y}$ in den Zähler.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = \frac{- (z - y)}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = \frac{- (z - y)}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - (z - y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - (z - y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.3.3

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 6.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + 1 y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.2.3.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z - y = - z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z - y + z = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3 z - 1$ und $c = - 4 z^{2} + z$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (3 z - 1) \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 4 z^{2} + z))}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (3 z) + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.4

Schreibe ${(3 z - 1)}^{2}$ als $(3 z - 1) (3 z - 1)$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{(3 z - 1) (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.5

Multipliziere $(3 z - 1) (3 z - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z - 1) - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z \cdot z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.6.1.2

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1.6.1.2.1

Bewege $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (z \cdot z)) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.6.2

Subtrahiere $3 z$ von $- 3 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 (- 4 z^{2}) - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 + 16 z^{2} - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.10

Addiere $9 z^{2}$ und $16 z^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 6 z + 1 - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.11

Subtrahiere $4 z$ von $- 6 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.12

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.3.5.1.12.1

Schreibe $25 z^{2}$ als ${(5 z)}^{2}$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.12.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.12.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 z = 2 \cdot (5 z) \cdot 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.12.4

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 2 \cdot (5 z) \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.12.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 5 z$ und $b = 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (3 z) + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.4

Schreibe ${(3 z - 1)}^{2}$ als $(3 z - 1) (3 z - 1)$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{(3 z - 1) (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.5

Multipliziere $(3 z - 1) (3 z - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.6.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z - 1) - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z \cdot z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.6.1.2

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.1.6.1.2.1

Bewege $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (z \cdot z)) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.6.2

Subtrahiere $3 z$ von $- 3 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 (- 4 z^{2}) - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 + 16 z^{2} - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.10

Addiere $9 z^{2}$ und $16 z^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 6 z + 1 - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.11

Subtrahiere $4 z$ von $- 6 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.12

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.1.12.1

Schreibe $25 z^{2}$ als ${(5 z)}^{2}$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.12.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.12.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 z = 2 \cdot (5 z) \cdot 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.12.4

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 2 \cdot (5 z) \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.12.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 5 z$ und $b = 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 + 5 z - 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.6.4.1

Addiere $- 3 z$ und $5 z$ .

$y = \frac{2 z + 1 - 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = \frac{2 z + 0}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.4.3

Addiere $2 z$ und $0$ .

$y = \frac{2 z}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{2 z}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 z}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.6.5.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$y = z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (3 z) + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.4

Schreibe ${(3 z - 1)}^{2}$ als $(3 z - 1) (3 z - 1)$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{(3 z - 1) (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.5

Multipliziere $(3 z - 1) (3 z - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.7.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z - 1) - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.7.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.7.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z \cdot z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.6.1.2

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.7.1.6.1.2.1

Bewege $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (z \cdot z)) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.6.2

Subtrahiere $3 z$ von $- 3 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 (- 4 z^{2}) - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 + 16 z^{2} - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.10

Addiere $9 z^{2}$ und $16 z^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 6 z + 1 - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.11

Subtrahiere $4 z$ von $- 6 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.12

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.7.1.12.1

Schreibe $25 z^{2}$ als ${(5 z)}^{2}$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.12.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.12.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 z = 2 \cdot (5 z) \cdot 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.12.4

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 2 \cdot (5 z) \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.12.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 5 z$ und $b = 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 - (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.7.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 z + 1 - (5 z) + 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 - 5 z + 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 - 5 z + 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.4.4

Subtrahiere $5 z$ von $- 3 z$ .

$y = \frac{- 8 z + 1 + 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 8 z + 2}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.4.6

Faktorisiere $2$ aus $- 8 z + 2$ heraus.

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Schritt 6.3.7.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 z$ heraus.

$y = \frac{2 (- 4 z) + 2}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (- 4 z) + 2 (1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.4.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 4 z) + 2 (1)$ heraus.

$y = \frac{2 (- 4 z + 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{2 (- 4 z + 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{2 (- 4 z + 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (- 4 z + 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.7.5.2

Dividiere $- 4 z + 1$ durch $1$ .

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 6.3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = z$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = z$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = z$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Schritt 7

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}, \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}, z, z)$

Schritt 8

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} a \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y} \\ \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y} \\ z \\ z \end{array}]$