Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 2

Multipliziere $1$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 4

Bringe $1$ auf die linke Seite von $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}]$ .

$1 \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 5

Multipliziere $1$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Schritt 7

Multipliziere $1$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 2 \\ 1 k \end{array}]$

Schritt 8

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \cdot 2 \\ 1 k \end{array}]$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 k \end{array}]$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}]$

Schritt 9

Multipliziere $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}]$ .

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Schritt 9.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 1$ and the second matrix is $1 \times 3$ .

Schritt 9.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \cdot 2 & 2 \cdot 2 & 2 k \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot 2 & 2 k \\ k \cdot 2 & k \cdot 2 & k \cdot k \end{array}]$

Schritt 9.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 4 & 2 k \\ 4 & 4 & 2 k \\ 2 k & 2 k & k^{2} \end{array}]$

Schritt 9.4

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

Schritt 9.5

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 0 (2 k) & 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 0 (2 k) & 1 (2 k) + 1 (2 k) + 0 k^{2} \\ 1 \cdot 4 + 0 \cdot 4 + 2 (2 k) & 1 \cdot 4 + 0 \cdot 4 + 2 (2 k) & 1 (2 k) + 0 (2 k) + 2 k^{2} \\ 0 \cdot 4 + 2 \cdot 4 - (2 k) & 0 \cdot 4 + 2 \cdot 4 - (2 k) & 0 (2 k) + 2 (2 k) - k^{2} \end{array}]$

Schritt 9.6

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 8 & 8 & 4 k \\ 4 + 4 k & 4 + 4 k & 2 k + 2 k^{2} \\ 8 - 2 k & 8 - 2 k & 4 k - k^{2} \end{array}]$