Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Schritt 2

Die Matrixgleichung kann als eine Menge von Gleichungen geschrieben werden.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 3

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $8 + y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $z$ in $2 x + 2 y - 5 z = 15$ durch $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $5 y$ von $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 4.3

Ersetze alle $z$ in $- x - y + 3 z = 23$ durch $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $- x - y + 3 (8 + y)$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $- y$ und $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Schritt 5

Stelle $8$ und $y$ um.

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 6

Löse in $z = y + 8$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $y + 8 = z$ um.

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 6.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $z - 8$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $y$ in $- x + 2 y + 24 = 23$ durch $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 7.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $- 16$ und $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 7.3

Ersetze alle $y$ in $2 x - 3 y - 40 = 15$ durch $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 7.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

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Schritt 7.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 7.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 7.4.1.2

Subtrahiere $40$ von $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 8

Löse in $2 x - 3 z - 16 = 15$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Addiere $3 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 8.1.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 8.1.3

Addiere $15$ und $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3 z + 31$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3 z + 31$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 9

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $x$ in $- x + 2 z + 8 = 23$ durch $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

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Schritt 9.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.2

Um $2 z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.3

Kombiniere $2 z$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.7

Addiere $- 3 z$ und $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.8

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1.9.1

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.10.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 9.2.1.10.2

Subtrahiere $31$ von $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 10

Löse in $\frac{z - 15}{2} = 23$ nach $z$ auf.

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Schritt 10.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 10.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 10.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 10.3.2

Addiere $46$ und $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 11

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $61$ in jeder Gleichung.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $z$ in $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ durch $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

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Schritt 11.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 11.2.1.2.2

Addiere $183$ und $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 11.2.1.2.3

Dividiere $214$ durch $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 11.3

Ersetze alle $z$ in $y = z - 8$ durch $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Schritt 11.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.4.1

Subtrahiere $8$ von $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$y = 53, x = 107, z = 61$