Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - 3 x + 1 y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ 0 x + 1 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} - 3 x + y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 2

Die Matrixgleichung kann als eine Menge von Gleichungen geschrieben werden.

$- 3 x + y + 2 z = 5$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + 2 z = 5 + 3 x$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $5 + 3 x - 2 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $4 x + 2 y - 4 z = - 4$ durch $5 + 3 x - 2 z$ .

$4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 2 \cdot 5 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 x + 10 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 x + 10 + 6 x + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $4 x$ und $6 x$ .

$10 x + 10 - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $4 z$ von $- 4 z$ .

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $y + 3 z = 3$ durch $5 + 3 x - 2 z$ .

$(5 + 3 x - 2 z) + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Addiere $- 2 z$ und $3 z$ .

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + z = 3 - 5$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = 3 - 5 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 5.3

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $- 2 - 3 x$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $z$ in $10 x + 10 - 8 z = - 4$ durch $- 2 - 3 x$ .

$10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x + 10 - 8 \cdot - 2 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$10 x + 10 + 16 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 6.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.2.1.2.1

Addiere $10 x$ und $24 x$ .

$34 x + 10 + 16 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 6.2.1.2.2

Addiere $10$ und $16$ .

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Schritt 6.3

Ersetze alle $z$ in $y = 5 + 3 x - 2 z$ durch $- 2 - 3 x$ .

$y = 5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$ .

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 + 3 x - 2 \cdot - 2 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 6.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 6.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 6.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.4.1.2.1

Addiere $5$ und $4$ .

$y = 3 x + 9 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 6.4.1.2.2

Addiere $3 x$ und $6 x$ .

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7

Löse in $34 x + 26 = - 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $26$ von beiden Seiten der Gleichung.

$34 x = - 4 - 26$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $26$ von $- 4$ .

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $34 x = - 30$ durch $34$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $34 x = - 30$ durch $34$ .

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $34$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $34$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$x = \frac{2 (- 15)}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{15}{17}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $x$ in $y = 9 x + 9$ durch $- \frac{15}{17}$ .

$y = 9 (- \frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $9 (- \frac{15}{17}) + 9$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1.1

Multipliziere $9 (- \frac{15}{17})$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = - 9 (\frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{15}{17}$ .

$y = \frac{- 9 \cdot 15}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $15$ .

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2.1.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + 9 \cdot \frac{17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2.1.3

Kombiniere $9$ und $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + \frac{9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 135 + 9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $17$ .

$y = \frac{- 135 + 153}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.2.1.5.2

Addiere $- 135$ und $153$ .

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Schritt 8.3

Ersetze alle $x$ in $z = - 2 - 3 x$ durch $- \frac{15}{17}$ .

$z = - 2 - 3 (- \frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache $- 2 - 3 (- \frac{15}{17})$ .

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Schritt 8.4.1.1

Multipliziere $- 3 (- \frac{15}{17})$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$z = - 2 + 3 (\frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 8.4.1.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{15}{17}$ .

$z = - 2 + \frac{3 \cdot 15}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 8.4.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 8.4.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{17}{17}$ .

$z = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 8.4.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{17}{17}$ .

$z = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 8.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z = \frac{- 2 \cdot 17 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 8.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $17$ .

$z = \frac{- 34 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 8.4.1.5.2

Addiere $- 34$ und $45$ .

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$z = \frac{11}{17}, y = \frac{18}{17}, x = - \frac{15}{17}$