Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $4 \times 4$ and the second matrix is $4 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 x + 1 y + 0 v + 0 z \\ 0 x + 0 y + 1 v + 1 z \\ 1 x + 0 y + 1 v + 0 z \\ 0 x + 1 y + 0 v + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

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Schritt 1.3.1

Addiere $0$ und $y$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + 0 + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Addiere $y$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Schritt 2

Die Matrixgleichung kann als eine Menge von Gleichungen geschrieben werden.

$x + y = 110$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Schritt 3

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $110 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $x + v = 140$ durch $110 - y$ .

$(110 - y) + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $110$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y + v = 140 - 110$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Schritt 5.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$v = 140 - 110 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Schritt 5.3

Subtrahiere $110$ von $140$ .

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $v$ durch $30 + y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $v$ in $v + z = 160$ durch $30 + y$ .

$(30 + y) + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + z = 160 - 30$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Schritt 7.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 160 - 30 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Schritt 7.3

Subtrahiere $30$ von $160$ .

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $130 - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $y$ in $v = 30 + y$ durch $130 - z$ .

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Schritt 8.2

Vereinfache $v = 30 + 130 - z$ .

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Entferne die Klammern.

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $30$ und $130$ .

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Schritt 8.3

Ersetze alle $y$ in $x = 110 - y$ durch $130 - z$ .

$x = 110 - (130 - z)$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache $110 - (130 - z)$ .

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Schritt 8.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 110 - 1 \cdot 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Schritt 8.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $130$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Schritt 8.4.1.1.3

Multipliziere $- - z$ .

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Schritt 8.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 110 - 130 + 1 z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Schritt 8.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Schritt 8.4.1.2

Subtrahiere $130$ von $110$ .

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Schritt 8.5

Ersetze alle $y$ in $y + z = 130$ durch $130 - z$ .

$(130 - z) + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Schritt 8.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(130 - z) + z$ .

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Schritt 8.6.1.1

Addiere $- z$ und $z$ .

$130 + 0 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Schritt 8.6.1.2

Addiere $130$ und $0$ .

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Schritt 9

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$