Lineare Algebra Beispiele

$x [\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array}] + y [\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere $x$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} x \cdot 2 \\ x \cdot - 3 \end{array}] + y [\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$[\begin{array}{c} 2 x \\ x \cdot - 3 \end{array}] + y [\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$[\begin{array}{c} 2 x \\ - 3 x \end{array}] + y [\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $y$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 x \\ - 3 x \end{array}] + [\begin{array}{c} y \cdot - 4 \\ y \cdot - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.4

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.1.4.1

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$[\begin{array}{c} 2 x \\ - 3 x \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 y \\ y \cdot - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.4.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$[\begin{array}{c} 2 x \\ - 3 x \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 y \\ - 2 y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 1.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 2 x - 4 y \\ - 3 x - 2 y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 2

Die Matrixgleichung kann als eine Menge von Gleichungen geschrieben werden.

$2 x - 4 y = - 4$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3

Löse in $2 x - 4 y = - 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 4 + 4 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 4 + 4 y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 4 + 4 y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = \frac{- 4}{2} + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$x = - 2 + \frac{4 y}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$x = - 2 + \frac{2 (2 y)}{2}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = - 2 + \frac{2 (2 y)}{2 (1)}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 2 + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2 + \frac{2 y}{1}$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 3.2.3.1.2.2.4

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$- 3 x - 2 y = - 1$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 2 + 2 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $- 3 x - 2 y = - 1$ durch $- 2 + 2 y$ .

$- 3 (- 2 + 2 y) - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 3 (- 2 + 2 y) - 2 y$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 \cdot - 2 - 3 (2 y) - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$6 - 3 (2 y) - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$6 - 6 y - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$6 - 6 y - 2 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 6 y$ .

$6 - 8 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$6 - 8 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$6 - 8 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

$6 - 8 y = - 1$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 5

Löse in $6 - 8 y = - 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y = - 1 - 6$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$- 8 y = - 7$

$x = - 2 + 2 y$

$- 8 y = - 7$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y = - 7$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y = - 7$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{- 7}{- 8}$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + 2 y$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + 2 y$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{7}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 2 + 2 y$ durch $\frac{7}{8}$ .

$x = - 2 + 2 (\frac{7}{8})$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- 2 + 2 (\frac{7}{8})$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = - 2 + 2 (\frac{7}{2 (4)})$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 2 + 2 (\frac{7}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - 2 + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - 2 + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 \cdot 4 + 7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 8 + 7}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2.1.5.2

Addiere $- 8$ und $7$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = \frac{- 1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - \frac{1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - \frac{1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

$x = - \frac{1}{4}$

$y = \frac{7}{8}$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - \frac{1}{4}, y = \frac{7}{8}$