Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 7 x & - 8 \\ 8 y & - 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 20 \\ 2 y & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Funktionsregel.

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Schritt 1.1

Prüfe, ob die Funktionsregel linear ist.

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Schritt 1.1.1

Um zu ermitteln, ob die Tabelle einer Funktionsregel folgt, prüfe, ob die Werte der linearen Form $y = a x + b$ folgen.

$y = a x + b$

Schritt 1.1.2

Erzeuge eine Menge von Gleichungen aus der Tabelle, sodass $y = a x + b$ .

$20 = a (- 8) + b 3 = a (- 3) + b$

Schritt 1.1.3

Berechne die Werte von $a$ und $b$ .

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Schritt 1.1.3.1

Löse in $20 = a (- 8) + b$ nach $b$ auf.

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Schritt 1.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a (- 8) + b = 20$ um.

$a (- 8) + b = 20$

$3 = a (- 3) + b$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $a$ .

$- 8 a + b = 20$

$3 = a (- 3) + b$

Schritt 1.1.3.1.3

Addiere $8 a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = 20 + 8 a$

$3 = a (- 3) + b$

$b = 20 + 8 a$

$3 = a (- 3) + b$

Schritt 1.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $20 + 8 a$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1.3.2.1

Ersetze alle $b$ in $3 = a (- 3) + b$ durch $20 + 8 a$ .

$3 = a (- 3) + 20 + 8 a$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.2.2

Vereinfache $3 = a (- 3) + 20 + 8 a$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$3 = a (- 3) + 20 + 8 a$

$b = 20 + 8 a$

$3 = a (- 3) + 20 + 8 a$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Vereinfache $a (- 3) + 20 + 8 a$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1.1

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $a$ .

$3 = - 3 a + 20 + 8 a$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.2.2.2.1.2

Addiere $- 3 a$ und $8 a$ .

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

$3 = 5 a + 20$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.3

Löse in $3 = 5 a + 20$ nach $a$ auf.

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Schritt 1.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $5 a + 20 = 3$ um.

$5 a + 20 = 3$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.3.2.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 a = 3 - 20$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.3.2.2

Subtrahiere $20$ von $3$ .

$5 a = - 17$

$b = 20 + 8 a$

$5 a = - 17$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $5 a = - 17$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 a = - 17$ durch $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 a}{5} = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = \frac{- 17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + 8 a$

Schritt 1.1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- \frac{17}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1.3.4.1

Ersetze alle $a$ in $b = 20 + 8 a$ durch $- \frac{17}{5}$ .

$b = 20 + 8 (- \frac{17}{5})$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.4.2.1

Vereinfache $20 + 8 (- \frac{17}{5})$ .

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Schritt 1.1.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.4.2.1.1.1

Multipliziere $8 (- \frac{17}{5})$ .

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Schritt 1.1.3.4.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$b = 20 - 8 (\frac{17}{5})$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{17}{5}$ .

$b = 20 + \frac{- 8 \cdot 17}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $17$ .

$b = 20 + \frac{- 136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 + \frac{- 136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = 20 - \frac{136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = 20 - \frac{136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.2

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$b = 20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.3

Kombiniere $20$ und $\frac{5}{5}$ .

$b = \frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b = \frac{20 \cdot 5 - 136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $20$ mit $5$ .

$b = \frac{100 - 136}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.5.2

Subtrahiere $136$ von $100$ .

$b = \frac{- 36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = \frac{- 36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = - \frac{36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = - \frac{36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

$b = - \frac{36}{5}$

$a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$b = - \frac{36}{5}, a = - \frac{17}{5}$

Schritt 1.1.4

Berechne den Wert von $y$ unter Verwendung jedes $x$ -Wertes in der Relation und vergleiche diesen Wert mit dem gegebenen $y$ -Wert in der Relation.

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Schritt 1.1.4.1

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = - \frac{17}{5}$ , $b = - \frac{36}{5}$ und $x = - 8$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Multipliziere $(- \frac{17}{5}) (- 8)$ .

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Schritt 1.1.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y = 8 (\frac{17}{5}) - \frac{36}{5}$

Schritt 1.1.4.1.1.2

Kombiniere $8$ und $\frac{17}{5}$ .

$y = \frac{8 \cdot 17}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 1.1.4.1.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $17$ .

$y = \frac{136}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 1.1.4.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.4.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{136 - 36}{5}$

Schritt 1.1.4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.1.2.2.1

Subtrahiere $36$ von $136$ .

$y = \frac{100}{5}$

Schritt 1.1.4.1.2.2.2

Dividiere $100$ durch $5$ .

$y = 20$

Schritt 1.1.4.2

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = - 8$ . Der Test wird bestanden, da $y = 20$ und $y = 20$ .

$20 = 20$

Schritt 1.1.4.3

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = - \frac{17}{5}$ , $b = - \frac{36}{5}$ und $x = - 3$ .

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Schritt 1.1.4.3.1

Multipliziere $(- \frac{17}{5}) (- 3)$ .

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Schritt 1.1.4.3.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = 3 (\frac{17}{5}) - \frac{36}{5}$

Schritt 1.1.4.3.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{17}{5}$ .

$y = \frac{3 \cdot 17}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 1.1.4.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $17$ .

$y = \frac{51}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 1.1.4.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{51 - 36}{5}$

Schritt 1.1.4.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.2.2.1

Subtrahiere $36$ von $51$ .

$y = \frac{15}{5}$

Schritt 1.1.4.3.2.2.2

Dividiere $15$ durch $5$ .

$y = 3$

Schritt 1.1.4.4

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = - 3$ . Der Test wird bestanden, da $y = 3$ und $y = 3$ .

$3 = 3$

Schritt 1.1.4.5

Da für die entsprechenden $x$ -Werte $y = y$ , ist die Funktion linear.

Die Funktion ist linear

Schritt 1.2

Da alle $y = y$ , ist die Funktion linear und folgt der Form $y = - \frac{17 x}{5} - \frac{36}{5}$ .

$y = - \frac{17 x}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 2

Ermittle $7 x$ .

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Schritt 2.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $7 x$ zu ermitteln.

$0 = - \frac{177 x}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 2.2

Schreibe die Gleichung als $- \frac{177 x}{5} - \frac{36}{5} = 0$ um.

$- \frac{177 x}{5} - \frac{36}{5} = 0$

Schritt 2.3

Addiere $\frac{36}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{177 x}{5} = \frac{36}{5}$

Schritt 2.4

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- 177 x = 36$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 177 x = 36$ durch $- 177$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 177 x = 36$ durch $- 177$ .

$\frac{- 177 x}{- 177} = \frac{36}{- 177}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 177$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 177 x}{- 177} = \frac{36}{- 177}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{36}{- 177}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $- 177$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$x = \frac{3 (12)}{- 177}$

Schritt 2.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 177$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot - 59}$

Schritt 2.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot - 59}$

Schritt 2.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{- 59}$

Schritt 2.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{12}{59}$

Schritt 3

Ermittle $8 y$ .

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Schritt 3.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $8 y$ zu ermitteln.

$2 y = - \frac{178 y}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $\frac{178 y}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + \frac{178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2.2

Um $2 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$2 y \cdot \frac{5}{5} + \frac{178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $2 y$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y \cdot 5}{5} + \frac{178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 y \cdot 5 + 178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y \cdot 5 + 178 y$ heraus.

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Schritt 3.2.5.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y \cdot 5$ heraus.

$\frac{2 y (5) + 178 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2.5.1.2

Faktorisiere $2 y$ aus $178 y$ heraus.

$\frac{2 y (5) + 2 y (89)}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2.5.1.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (5) + 2 y (89)$ heraus.

$\frac{2 y (5 + 89)}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $5$ und $89$ .

$\frac{2 y \cdot 94}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.2.5.3

Mutltipliziere $94$ mit $2$ .

$\frac{188 y}{5} = - \frac{36}{5}$

Schritt 3.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$188 y = - 36$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $188 y = - 36$ durch $188$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $188 y = - 36$ durch $188$ .

$\frac{188 y}{188} = \frac{- 36}{188}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $188$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{188 y}{188} = \frac{- 36}{188}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 36}{188}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $188$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

$y = \frac{4 (- 9)}{188}$

Schritt 3.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $188$ heraus.

$y = \frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 47}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 47}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 9}{47}$

Schritt 3.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{9}{47}$

Schritt 4

Liste alle Lösungen auf.

$x = - \frac{12}{59} y = - \frac{9}{47}$