Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{c} - 19 \\ 11 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 43 \\ - 5 \end{array}]$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Multipliziere $[\begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

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Schritt 1.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Schritt 1.1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - 2 a - 5 b \\ - 2 a - b \end{array}] + [\begin{array}{c} - 19 \\ 11 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 43 \\ - 5 \end{array}]$

Schritt 1.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} - 2 a - 5 b - 19 \\ - 2 a - b + 11 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 43 \\ - 5 \end{array}]$

Schritt 2

Die Matrixgleichung kann als eine Menge von Gleichungen geschrieben werden.

$- 2 a - 5 b - 19 = - 43$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 3

Löse in $- 2 a - 5 b - 19 = - 43$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $5 b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 a - 19 = - 43 + 5 b$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 3.1.2

Addiere $19$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 a = - 43 + 5 b + 19$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 3.1.3

Addiere $- 43$ und $19$ .

$- 2 a = 5 b - 24$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$- 2 a = 5 b - 24$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 a = 5 b - 24$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 a = 5 b - 24$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 a}{- 2} = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 a}{- 2} = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{5 b}{2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 3.2.3.1.2

Dividiere $- 24$ durch $- 2$ .

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- \frac{5 b}{2} + 12$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $a$ in $- 2 a - b + 11 = - 5$ durch $- \frac{5 b}{2} + 12$ .

$- 2 (- \frac{5 b}{2} + 12) - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{5 b}{2} + 12) - b + 11$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- \frac{5 b}{2}) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 b}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- 5 b}{2} - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) (\frac{- 5 b}{2}) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (- 1 \frac{- 5 b}{2}) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (- 5 b) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 1 (- 5 b) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$5 b - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$5 b - 24 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$5 b - 24 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $b$ von $5 b$ .

$4 b - 24 + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 24$ und $11$ .

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 5

Löse in $4 b - 13 = - 5$ nach $b$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 b = - 5 + 13$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 5.1.2

Addiere $- 5$ und $13$ .

$4 b = 8$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b = 8$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 b = 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 b = 8$ durch $4$ .

$\frac{4 b}{4} = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 b}{4} = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $8$ durch $4$ .

$b = 2$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = 2$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = 2$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = 2$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $b$ in $a = - \frac{5 b}{2} + 12$ durch $2$ .

$a = - \frac{5 (2)}{2} + 12$

$b = 2$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- \frac{5 (2)}{2} + 12$ .

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = - \frac{5 \cdot 2}{2} + 12$

$b = 2$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$a = - 1 \cdot 5 + 12$

$b = 2$

$a = - 1 \cdot 5 + 12$

$b = 2$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$a = - 5 + 12$

$b = 2$

$a = - 5 + 12$

$b = 2$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 5$ und $12$ .

$a = 7$

$b = 2$

$a = 7$

$b = 2$

$a = 7$

$b = 2$

$a = 7$

$b = 2$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$a = 7, b = 2$